Номер 19.17, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 19.17, страница 168.

19.17. Решите неравенство:

1) $|x^2 + 3x| < x + 4;$

2) $|x^2 + 3x| \ge 2 - x^2.$

1)

Решим неравенство $|x^2 + 3x| < x + 4$.

Данное неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств. Во-первых, правая часть должна быть строго больше нуля, так как модуль — неотрицательная величина. Во-вторых, выражение под модулем должно быть в границах от $-g(x)$ до $g(x)$.

$$ \begin{cases} x + 4 > 0 \\ x^2 + 3x < x + 4 \\ x^2 + 3x > -(x + 4) \end{cases} $$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. $x + 4 > 0 \implies x > -4$.

2. $x^2 + 3x < x + 4 \implies x^2 + 2x - 4 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 4 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + 2x - 4$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 2x - 4 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})$.

3. $x^2 + 3x > -(x + 4) \implies x^2 + 3x > -x - 4 \implies x^2 + 4x + 4 > 0$.
Выражение в левой части является полным квадратом: $(x + 2)^2 > 0$.
Это неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме того случая, когда $x + 2 = 0$, то есть $x \neq -2$.

Теперь найдем пересечение (общее решение) для всех трех условий:
1) $x \in (-4, \infty)$
2) $x \in (-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})$
3) $x \neq -2$
Оценим значения корней: $\sqrt{5} \approx 2.236$. Тогда $-1 - \sqrt{5} \approx -3.236$ и $-1 + \sqrt{5} \approx 1.236$.
Интервал $(-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})$ полностью содержится в интервале $(-4, \infty)$.
Точка $x = -2$ находится внутри интервала $(-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})$, так как $-3.236 < -2 < 1.236$.
Следовательно, мы должны исключить эту точку из интервала решения второго неравенства.

Объединяя все условия, получаем итоговое решение: $x \in (-1 - \sqrt{5}, -2) \cup (-2, -1 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(-1 - \sqrt{5}, -2) \cup (-2, -1 + \sqrt{5})$.

2)

Решим неравенство $|x^2 + 3x| \ge 2 - x^2$.

Неравенство вида $|f(x)| \ge g(x)$ равносильно совокупности (объединению) двух неравенств:

$$ \begin{bmatrix} x^2 + 3x \ge 2 - x^2 \\ x^2 + 3x \le -(2 - x^2) \end{bmatrix} $$

Решим каждое неравенство совокупности.

1. $x^2 + 3x \ge 2 - x^2 \implies 2x^2 + 3x - 2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 2 = 0$ через дискриминант:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$.
$x_1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$, $x_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ветви параболы $y = 2x^2 + 3x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство $2x^2 + 3x - 2 \ge 0$ выполняется при значениях $x$ не между корнями, включая сами корни: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{1}{2}, \infty)$.

2. $x^2 + 3x \le -(2 - x^2) \implies x^2 + 3x \le -2 + x^2$.
$3x \le -2$
$x \le -\frac{2}{3}$.
Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}]$.

Решением исходного неравенства является объединение множеств решений, полученных в пунктах 1 и 2.
Объединим $(-\infty, -2] \cup [\frac{1}{2}, \infty)$ и $(-\infty, -\frac{2}{3}]$.
Так как $-2 < -\frac{2}{3}$, то множество $(-\infty, -2]$ является подмножеством $(-\infty, -\frac{2}{3}]$.
Объединение этих двух множеств дает большее из них, то есть $(-\infty, -\frac{2}{3}]$.
Теперь объединим полученное множество с оставшейся частью решения из первого пункта: $(-\infty, -\frac{2}{3}] \cup [\frac{1}{2}, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -\frac{2}{3}] \cup [\frac{1}{2}, \infty)$.