Номер 5, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 20. Случайные величины и их характеристики. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 5, страница 174.

5. Что называют математическим ожиданием случайной величины?

Математическим ожиданием (также называемым средним значением) случайной величины является одна из важнейших числовых характеристик ее распределения вероятностей. Интуитивно, это среднее значение, которое случайная величина примет при большом количестве повторений одного и того же случайного эксперимента. Математическое ожидание показывает центральное положение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и обычно обозначается как $E(X)$ или $M(X)$.

Способ вычисления математического ожидания зависит от типа случайной величины.

Для дискретной случайной величины. Если случайная величина $X$ может принимать конечное или счетное множество значений $x_1, x_2, \dots, x_n$ с соответствующими вероятностями $p_1, p_2, \dots, p_n$, то ее математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности. Формула для расчета:
$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$
При этом сумма всех вероятностей должна быть равна единице: $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$.

Для непрерывной случайной величины. Если случайная величина $X$ может принимать любое значение из некоторого числового промежутка и описывается функцией плотности вероятности $f(x)$, то ее математическое ожидание вычисляется с помощью интеграла:
$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \,dx$
Данный интеграл представляет собой взвешенное среднее всех возможных значений $x$, где "весом" каждого значения выступает плотность вероятности $f(x)$.

Пример
Найдем математическое ожидание числа очков, выпадающих при броске стандартного игрального кубика. Случайная величина $X$ — это число выпавших очков. Она может принимать значения $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Вероятность выпадения каждого из этих значений для "честного" кубика равна $p_i = 1/6$.
Используя формулу для дискретной случайной величины, получаем:
$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$
Это означает, что хотя при одном броске не может выпасть 3.5 очка, при очень большом количестве бросков среднее значение всех выпавших очков будет стремиться именно к 3.5.

Ответ: Математическое ожидание случайной величины — это ее средневзвешенное значение, которое характеризует центр ее распределения. Для дискретной величины оно равно сумме произведений ее возможных значений на их вероятности, а для непрерывной — соответствующему интегралу от произведения значений на функцию плотности вероятности.