Страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют случайной величиной?

1. Что называют случайной величиной?

Случайной величиной называют переменную, значение которой является числовым исходом некоторого случайного явления или эксперимента. В отличие от обычной переменной (например, в уравнении), которая имеет одно конкретное значение, случайная величина может принимать различные значения, и какое именно значение она примет в результате эксперимента, заранее неизвестно. Каждое возможное значение случайной величины связано с определённой вероятностью.

С формальной математической точки зрения, случайная величина — это функция, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу из пространства элементарных исходов $\Omega$ (множества всех возможных исходов) некоторое действительное число. Это можно записать как отображение $X: \Omega \to \mathbb{R}$.

Рассмотрим несколько примеров:

• Пример 1: Бросок игральной кости. Пространство элементарных исходов $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Случайная величина $X$, равная числу выпавших очков, может принимать значения из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• Пример 2: Подбрасывание двух монет. Пространство исходов $\Omega = \{Орел-Орел, Орел-Решка, Решка-Орел, Решка-Решка\}$. Если мы определим случайную величину $Y$ как «количество выпавших орлов», то она сможет принимать значения из множества $\{0, 1, 2\}$.

Случайные величины принято делить на два основных типа:

1. Дискретные случайные величины — это величины, которые могут принимать только отдельные, изолированные значения (конечное или счетное множество). Их значения можно пересчитать. Примеры: число очков на кости, количество студентов в аудитории, число вызовов на телефонной станции за минуту.

2. Непрерывные случайные величины — это величины, которые могут принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Их значения нельзя пересчитать. Примеры: рост человека, температура воздуха, время ожидания автобуса.

Таким образом, введение понятия случайной величины позволяет использовать математический аппарат для анализа случайных явлений, переводя их качественные исходы в количественные, числовые характеристики.

Ответ: Случайной величиной называют переменную, которая в результате случайного эксперимента принимает одно из множества своих возможных числовых значений, причём заранее неизвестно, какое именно.

2. Что называют множеством значений случайной величины?

2. Множеством значений случайной величины называют совокупность всех возможных значений, которые эта величина может принять в результате случайного эксперимента. Случайная величина, обозначаемая обычно большой латинской буквой (например, $X$), является, по сути, функцией, которая каждому элементарному исходу случайного эксперимента ставит в соответствие некоторое числовое значение. Множество всех этих числовых значений и есть искомое множество, которое также называют носителем или спектром случайной величины.

Это множество может быть разным в зависимости от типа случайной величины:

Для дискретной случайной величины множество значений является конечным или счётным. Это означает, что все возможные значения можно перечислить. Например, при броске игральной кости случайная величина $X$ — число выпавших очков. Множество её значений — $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Другой пример: число опечаток на странице книги. Множество значений здесь — $\{0, 1, 2, 3, ...\}$, оно счётное, но бесконечное.

Для непрерывной случайной величины множество значений представляет собой некоторый числовой промежуток (интервал, полуинтервал или отрезок) или объединение таких промежутков. Значения такой величины нельзя перечислить, так как между любыми двумя её возможными значениями всегда найдётся другое возможное значение. Например, случайная величина $Y$ — рост случайно выбранного человека. Множество её значений может быть, например, интервалом $(50, 250)$ сантиметров.

Формально, если $\Omega$ — это пространство элементарных исходов, а $X: \Omega \to \mathbb{R}$ — случайная величина как функция, то множество её значений — это образ (range) функции $X$, то есть множество $X(\Omega) = \{X(\omega) \mid \omega \in \Omega\}$.

Ответ: Множеством значений случайной величины называют совокупность всех чисел, которые она может принять в результате проведения случайного эксперимента.

3. Что называют распределением вероятностей случайной величины?

Распределением вероятностей случайной величины (или законом распределения) называют любое правило (функцию, таблицу, график), которое устанавливает соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления. Это правило полностью описывает поведение случайной величины с вероятностной точки зрения.

Способ задания распределения зависит от типа случайной величины, которые бывают дискретными и непрерывными.

1. Для дискретной случайной величины (ДСВ)

Дискретная случайная величина — это величина, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения (конечное или счетное множество). Для нее распределение вероятностей чаще всего задается с помощью ряда распределения. Это таблица, в которой каждому возможному значению $x_i$ случайной величины $X$ сопоставляется соответствующая вероятность $p_i = P(X = x_i)$.

Ряд распределения имеет следующий вид:

Основное свойство ряда распределения — сумма всех вероятностей равна единице (условие нормировки):

$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$

2. Для непрерывной случайной величины (НСВ)

Непрерывная случайная величина может принимать любое значение из некоторого числового промежутка. Вероятность того, что НСВ примет одно конкретное значение, равна нулю ($P(X=x)=0$). Поэтому для описания ее распределения используют функции.

а) Функция распределения (или интегральная функция распределения) $F(x)$. Она определяет для каждого значения $x$ вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее чем $x$:

$F(x) = P(X < x)$

Функция распределения является универсальным способом задания закона распределения и существует как для дискретных, так и для непрерывных величин.

б) Плотность распределения вероятностей (или дифференциальная функция распределения) $f(x)$. Она определяется как производная от функции распределения:

$f(x) = F'(x)$

Плотность распределения $f(x)$ характеризует, насколько "плотно" вероятности сконцентрированы в окрестности точки $x$. Вероятность попадания случайной величины в интервал $(a, b)$ вычисляется как интеграл от плотности распределения на этом интервале: $P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

Основное свойство плотности распределения — интеграл от нее по всей числовой оси равен единице (условие нормировки):

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1$

Ответ: Распределение вероятностей случайной величины — это закон, описывающий связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Для дискретных величин он обычно задается рядом распределения (таблицей значений и вероятностей), а для непрерывных — функцией распределения $F(x)$ или плотностью распределения вероятностей $f(x)$.

4. Какое распределение вероятностей называют биномиальным?

Биномиальное распределение — это одно из наиболее фундаментальных и широко используемых дискретных распределений вероятностей в теории вероятностей и статистике. Оно описывает вероятность получения определённого числа "успехов" в серии из n независимых испытаний, при условии, что каждое испытание имеет только два возможных исхода.

Для того чтобы распределение случайной величины можно было считать биномиальным, должны выполняться следующие условия, известные как схема испытаний Бернулли:

1. Проводится фиксированное количество независимых испытаний, обозначаемое как $n$. Независимость означает, что исход одного испытания не влияет на исходы других.

2. Каждое испытание имеет ровно два взаимоисключающих исхода. Условно их называют "успех" и "неудача".

3. Вероятность "успеха", обозначаемая как $p$, остаётся постоянной для каждого испытания.

4. Соответственно, вероятность "неудачи", обозначаемая как $q$, также постоянна и равна $q = 1 - p$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдёт ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

где:

$P_n(k)$ — вероятность наступления ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях.

$n$ — общее число испытаний.

$k$ — число успехов, вероятность которого мы ищем (где $0 \le k \le n$).

$p$ — вероятность успеха в одном испытании.

$q$ — вероятность неудачи в одном испытании ($q = 1-p$).

$C_n^k$ — биномиальный коэффициент, который показывает число сочетаний из $n$ по $k$. Он рассчитывается по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и определяет, сколькими способами можно выбрать $k$ успешных испытаний из $n$ общих.

Название "биномиальное" происходит от того, что вероятности $P_n(k)$ для $k = 0, 1, ..., n$ являются членами разложения бинома Ньютона:

$(p+q)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k p^k q^{n-k}$

Поскольку $p+q=1$, то и сумма всех вероятностей $\sum_{k=0}^{n} P_n(k)$ также равна 1, что является обязательным свойством любого распределения вероятностей.

Пример:
Предположим, мы 5 раз подбрасываем симметричную монету. Какова вероятность, что орёл ("успех") выпадет ровно 3 раза?

Здесь:
$n = 5$ (число испытаний)
$k = 3$ (число желаемых успехов)
$p = 0.5$ (вероятность выпадения орла)
$q = 1 - 0.5 = 0.5$ (вероятность выпадения решки)

Число сочетаний $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$.

Тогда искомая вероятность равна:
$P_5(3) = C_5^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{5-3} = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.3125$.

Ответ: Биномиальным называют распределение вероятностей дискретной случайной величины, представляющей собой число "успехов" в конечной серии из $n$ независимых одинаковых случайных экспериментов (так называемых испытаний Бернулли), в каждом из которых вероятность "успеха" $p$ постоянна.

5. Что называют математическим ожиданием случайной величины?

Математическим ожиданием (также называемым средним значением) случайной величины является одна из важнейших числовых характеристик ее распределения вероятностей. Интуитивно, это среднее значение, которое случайная величина примет при большом количестве повторений одного и того же случайного эксперимента. Математическое ожидание показывает центральное положение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и обычно обозначается как $E(X)$ или $M(X)$.

Способ вычисления математического ожидания зависит от типа случайной величины.

Для дискретной случайной величины. Если случайная величина $X$ может принимать конечное или счетное множество значений $x_1, x_2, \dots, x_n$ с соответствующими вероятностями $p_1, p_2, \dots, p_n$, то ее математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности. Формула для расчета:
$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$
При этом сумма всех вероятностей должна быть равна единице: $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$.

Для непрерывной случайной величины. Если случайная величина $X$ может принимать любое значение из некоторого числового промежутка и описывается функцией плотности вероятности $f(x)$, то ее математическое ожидание вычисляется с помощью интеграла:
$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \,dx$
Данный интеграл представляет собой взвешенное среднее всех возможных значений $x$, где "весом" каждого значения выступает плотность вероятности $f(x)$.

Пример
Найдем математическое ожидание числа очков, выпадающих при броске стандартного игрального кубика. Случайная величина $X$ — это число выпавших очков. Она может принимать значения $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Вероятность выпадения каждого из этих значений для "честного" кубика равна $p_i = 1/6$.
Используя формулу для дискретной случайной величины, получаем:
$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$
Это означает, что хотя при одном броске не может выпасть 3.5 очка, при очень большом количестве бросков среднее значение всех выпавших очков будет стремиться именно к 3.5.

Ответ: Математическое ожидание случайной величины — это ее средневзвешенное значение, которое характеризует центр ее распределения. Для дискретной величины оно равно сумме произведений ее возможных значений на их вероятности, а для непрерывной — соответствующему интегралу от произведения значений на функцию плотности вероятности.

6. Чему равно математическое ожидание количества успехов в схеме Бернулли?

Схема Бернулли — это последовательность из $n$ независимых одинаковых испытаний, каждое из которых имеет ровно два исхода: "успех" и "неудача". Вероятность "успеха", обозначаемая как $p$, постоянна для всех испытаний. Вероятность "неудачи", соответственно, равна $q = 1 - p$.

Случайная величина $X$, равная количеству успехов в $n$ испытаниях, подчиняется биномиальному распределению. Вероятность того, что произойдет ровно $k$ успехов, определяется формулой Бернулли:

$P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

Математическое ожидание (или среднее значение) $E[X]$ для дискретной случайной величины — это сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. Рассмотрим два способа нахождения математического ожидания для количества успехов в схеме Бернулли.

Способ 1: Прямой расчёт по определению

По определению, математическое ожидание $E[X]$ вычисляется по формуле:

$E[X] = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P(X=k) = \sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k p^k q^{n-k}$

Член суммы при $k=0$ равен нулю ($0 \cdot P(X=0) = 0$), поэтому суммирование можно начинать с $k=1$:

$E[X] = \sum_{k=1}^{n} k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$

Сократим $k$ в числителе с $k!$ в знаменателе ($k/k! = 1/(k-1)!$):

$E[X] = \sum_{k=1}^{n} \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} p^k q^{n-k}$

Вынесем $n$ и $p$ за знак суммы, представив $n! = n \cdot (n-1)!$ и $p^k = p \cdot p^{k-1}$:

$E[X] = \sum_{k=1}^{n} \frac{n \cdot (n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} p \cdot p^{k-1} q^{n-k} = np \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} p^{k-1} q^{n-k}$

Выражение $\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}$ является биномиальным коэффициентом $C_{n-1}^{k-1}$. Сделаем замену переменных в сумме: пусть $j = k-1$ и $m = n-1$. Тогда, когда $k$ изменяется от 1 до $n$, новая переменная $j$ изменяется от 0 до $m$.

$E[X] = np \sum_{j=0}^{m} C_{m}^{j} p^{j} q^{m-j}$

Полученная сумма $\sum_{j=0}^{m} C_{m}^{j} p^{j} q^{m-j}$ является разложением бинома Ньютона для выражения $(p+q)^m$.

Так как по определению $p+q=1$, то $(p+q)^m = 1^m = 1$.

Таким образом, мы получаем итоговый результат:

$E[X] = np \cdot 1 = np$

Способ 2: Использование индикаторных случайных величин

Этот способ является более простым и интуитивным. Представим общее число успехов $X$ как сумму результатов отдельных испытаний. Для этого введем $n$ индикаторных случайных величин $X_1, X_2, \ldots, X_n$, где каждая $X_i$ описывает исход $i$-го испытания:

• $X_i = 1$, если в $i$-м испытании произошел "успех" (вероятность этого равна $p$).
• $X_i = 0$, если в $i$-м испытании произошла "неудача" (вероятность этого равна $q=1-p$).

Тогда общее число успехов $X$ есть сумма этих индикаторных величин:

$X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n = \sum_{i=1}^{n} X_i$

Найдем математическое ожидание для одной такой индикаторной величины $X_i$:

$E[X_i] = 1 \cdot P(X_i=1) + 0 \cdot P(X_i=0) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p$

Ключевым свойством математического ожидания является его линейность: математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий ($E[A+B] = E[A] + E[B]$). Применим это свойство к нашей сумме:

$E[X] = E\left[\sum_{i=1}^{n} X_i\right] = \sum_{i=1}^{n} E[X_i]$

Поскольку для каждого испытания $E[X_i] = p$, мы получаем:

$E[X] = \underbrace{p + p + \ldots + p}_{n \text{ слагаемых}} = np$

Оба метода приводят к одному и тому же результату: математическое ожидание количества успехов в схеме Бернулли равно произведению числа испытаний на вероятность успеха в одном испытании.

Ответ: $np$