Страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.16. Случайная величина $x$ равна количеству препаратов, проданных аптекой одному покупателю за одну покупку. Известно, что $P(x = k) = a(6k - k^2)$ для $k = 0, 1, 2, ..., 6$. Найдите математическое ожидание количества препаратов, проданных аптекой одному покупателю за одну покупку.

Пусть $x$ — случайная величина, равная количеству препаратов, проданных аптекой одному покупателю. Возможные значения $k$ для этой случайной величины: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Вероятность того, что будет продано $k$ препаратов, задана формулой $P(x = k) = a(6k - k^2)$.

Для нахождения математического ожидания $E[x]$ сначала необходимо определить значение коэффициента $a$. Мы используем свойство распределения вероятностей, согласно которому сумма вероятностей всех возможных исходов равна единице:

$\sum_{k=0}^{6} P(x = k) = 1$

Подставим формулу для вероятности в это уравнение:

$\sum_{k=0}^{6} a(6k - k^2) = a \sum_{k=0}^{6} (6k - k^2) = 1$

Теперь вычислим сумму, подставляя все возможные значения $k$ от 0 до 6:

Для $k=0: P(x=0) = a(6 \cdot 0 - 0^2) = a \cdot 0 = 0$
Для $k=1: P(x=1) = a(6 \cdot 1 - 1^2) = a(6 - 1) = 5a$
Для $k=2: P(x=2) = a(6 \cdot 2 - 2^2) = a(12 - 4) = 8a$
Для $k=3: P(x=3) = a(6 \cdot 3 - 3^2) = a(18 - 9) = 9a$
Для $k=4: P(x=4) = a(6 \cdot 4 - 4^2) = a(24 - 16) = 8a$
Для $k=5: P(x=5) = a(6 \cdot 5 - 5^2) = a(30 - 25) = 5a$
Для $k=6: P(x=6) = a(6 \cdot 6 - 6^2) = a(36 - 36) = 0$

Просуммируем вероятности:

$0 + 5a + 8a + 9a + 8a + 5a + 0 = 35a$

Так как сумма вероятностей равна 1, получаем уравнение:

$35a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{35}$

Теперь мы можем найти математическое ожидание $E[x]$, которое определяется как сумма произведений каждого возможного значения случайной величины на его вероятность:

$E[x] = \sum_{k=0}^{6} k \cdot P(x = k)$

Подставим наши данные:

$E[x] = \sum_{k=0}^{6} k \cdot a(6k - k^2) = a \sum_{k=0}^{6} (6k^2 - k^3)$

Вычислим сумму $\sum_{k=0}^{6} (6k^2 - k^3)$:

Для $k=0: 0 \cdot P(x=0) = 0$
Для $k=1: 1 \cdot P(x=1) = 1 \cdot 5a = 5a$
Для $k=2: 2 \cdot P(x=2) = 2 \cdot 8a = 16a$
Для $k=3: 3 \cdot P(x=3) = 3 \cdot 9a = 27a$
Для $k=4: 4 \cdot P(x=4) = 4 \cdot 8a = 32a$
Для $k=5: 5 \cdot P(x=5) = 5 \cdot 5a = 25a$
Для $k=6: 6 \cdot P(x=6) = 0$

Суммируем эти значения:

$E[x] = 0 + 5a + 16a + 27a + 32a + 25a + 0 = 105a$

Подставим найденное значение $a = \frac{1}{35}$:

$E[x] = 105 \cdot \frac{1}{35} = \frac{105}{35} = 3$

Ответ: 3

20.17. Случайная величина $y$ равна количеству школьников, присутствующих на очередном занятии математического кружка. Известно, что $P(y=k)=ak^2$ для $k=5, 6, 7, 8, 9$. Найдите математическое ожидание количества школьников на занятии математического кружка.

Пусть $y$ — это случайная величина, равная количеству школьников на занятии. Согласно условию, $y$ может принимать значения $k \in \{5, 6, 7, 8, 9\}$. Вероятность того, что на занятии присутствует ровно $k$ школьников, задается формулой $P(y=k) = ak^2$, где $a$ — некоторый постоянный коэффициент.

1. Найдем коэффициент $a$.

Сумма вероятностей всех возможных исходов для дискретной случайной величины должна быть равна 1. Это свойство называется условием нормировки.

$\sum_{k=5}^{9} P(y=k) = 1$

Подставим в это уравнение выражение для вероятности:

$P(y=5) + P(y=6) + P(y=7) + P(y=8) + P(y=9) = 1$

$a \cdot 5^2 + a \cdot 6^2 + a \cdot 7^2 + a \cdot 8^2 + a \cdot 9^2 = 1$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2) = 1$

Вычислим сумму квадратов в скобках:

$a(25 + 36 + 49 + 64 + 81) = 1$

$a(255) = 1$

Отсюда находим значение коэффициента $a$:

$a = \frac{1}{255}$

2. Найдем математическое ожидание.

Математическое ожидание $E(y)$ случайной величины $y$ — это среднее взвешенное всех ее возможных значений, где в качестве весов используются их вероятности. Формула для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины:

$E(y) = \sum_{k} k \cdot P(y=k)$

Применим эту формулу к нашей задаче:

$E(y) = \sum_{k=5}^{9} k \cdot (ak^2) = a \sum_{k=5}^{9} k^3$

$E(y) = a(5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 + 9^3)$

Вычислим сумму кубов:

$5^3 = 125$

$6^3 = 216$

$7^3 = 343$

$8^3 = 512$

$9^3 = 729$

Сумма: $125 + 216 + 343 + 512 + 729 = 1925$.

Теперь подставим найденные значения $a$ и суммы кубов в формулу для математического ожидания:

$E(y) = \frac{1}{255} \cdot 1925 = \frac{1925}{255}$

Сократим полученную дробь. Заметим, что и числитель, и знаменатель делятся на 5:

$E(y) = \frac{1925 \div 5}{255 \div 5} = \frac{385}{51}$

Разложим числитель и знаменатель на простые множители, чтобы проверить, можно ли сократить дробь дальше: $385 = 5 \cdot 7 \cdot 11$ и $51 = 3 \cdot 17$. Общих множителей нет, следовательно, дробь несократимая.

Ответ: $\frac{385}{51}$

20.18. Таблица распределения вероятностей выигрыша в азартной игре имеет вид:

Величина выигрыша, р. 0 100 300 1500

Вероятность, % 80 15 4 1

Цена билета для участия в игре составляет 50 р. Стоит ли играть в такую игру?

Для того чтобы определить, стоит ли играть в игру, необходимо рассчитать ее математическое ожидание выигрыша. Математическое ожидание – это средняя сумма, которую игрок может ожидать выиграть (или проиграть) за одну игру, если будет играть много раз. Если математическое ожидание выигрыша больше стоимости участия, то игра считается выгодной. Если меньше – невыгодной.

Математическое ожидание ($M$) вычисляется по формуле:
$M = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + ... + x_n \cdot p_n$
где $x_i$ – это величина возможного выигрыша, а $p_i$ – его вероятность.

Сначала переведем вероятности из процентов в десятичные дроби:
Вероятность выигрыша 0 р. составляет $80\% = 0,80$.
Вероятность выигрыша 100 р. составляет $15\% = 0,15$.
Вероятность выигрыша 300 р. составляет $4\% = 0,04$.
Вероятность выигрыша 1500 р. составляет $1\% = 0,01$.

Теперь подставим значения в формулу для расчета математического ожидания выигрыша:
$M = (0 \cdot 0,80) + (100 \cdot 0,15) + (300 \cdot 0,04) + (1500 \cdot 0,01)$

Выполним вычисления:
$M = 0 + 15 + 12 + 15 = 42$ р.

Таким образом, средний ожидаемый выигрыш в этой игре составляет 42 рубля.

Цена билета для участия в игре – 50 рублей. Сравним эту стоимость со средним ожидаемым выигрышем:
$42 \text{ р.} < 50 \text{ р.}$

Поскольку математическое ожидание выигрыша (42 р.) меньше, чем цена билета (50 р.), игра является невыгодной для участника. В среднем, при каждой игре участник будет терять $50 - 42 = 8$ рублей.

Ответ: играть в такую игру не стоит, так как средний ожидаемый выигрыш составляет 42 рубля, что меньше стоимости билета в 50 рублей. В долгосрочной перспективе игра будет приводить к убыткам.

20.19. Фермер, выращивающий горох, сомневается, использовать ли ему семена нового сорта. Цена семян нового сорта такова, что их имеет смысл использовать только в том случае, если урожайность гороха увеличится на 10%. Собрав урожай с двух экспериментальных участков, фермер оценил распределение количества горошин в стручке старого и нового сортов (см. таблицу). Стоит ли фермеру использовать семена нового сорта?

Чтобы определить, стоит ли фермеру использовать семена нового сорта, необходимо сравнить ожидаемую урожайность. Будем считать, что урожайность прямо пропорциональна среднему количеству горошин в стручке. Для нахождения среднего значения нужно вычислить математическое ожидание для каждого сорта по формуле:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

где $x_i$ — это количество горошин в стручке, а $p_i$ — соответствующая этому количеству вероятность (в долях от единицы).

Расчет среднего количества горошин для старого сорта

Сначала найдем математическое ожидание количества горошин в стручке для старого сорта ($E_{старый}$). Для этого данные о вероятностях из таблицы переведем из процентов в десятичные дроби.

$E_{старый} = (2 \cdot 0.12) + (3 \cdot 0.13) + (4 \cdot 0.20) + (5 \cdot 0.26) + (6 \cdot 0.18) + (7 \cdot 0.06) + (8 \cdot 0.05)$

$E_{старый} = 0.24 + 0.39 + 0.80 + 1.30 + 1.08 + 0.42 + 0.40 = 4.63$

Таким образом, среднее количество горошин в стручке для старого сорта составляет 4.63.

Расчет среднего количества горошин для нового сорта

Теперь аналогично рассчитаем математическое ожидание для нового сорта ($E_{новый}$):

$E_{новый} = (2 \cdot 0.02) + (3 \cdot 0.05) + (4 \cdot 0.18) + (5 \cdot 0.21) + (6 \cdot 0.27) + (7 \cdot 0.23) + (8 \cdot 0.04)$

$E_{новый} = 0.04 + 0.15 + 0.72 + 1.05 + 1.62 + 1.61 + 0.32 = 5.51$

Среднее количество горошин в стручке для нового сорта составляет 5.51.

Сравнение урожайности и вывод

По условию, использование семян нового сорта целесообразно, если урожайность увеличится на 10%. Найдем процентное увеличение урожайности нового сорта по сравнению со старым:

$\text{Прирост} = \frac{E_{новый} - E_{старый}}{E_{старый}} \times 100\%$

$\text{Прирост} = \frac{5.51 - 4.63}{4.63} \times 100\% = \frac{0.88}{4.63} \times 100\% \approx 18.98\%$

Полученный прирост урожайности составляет примерно 18.98%, что значительно больше требуемых 10%. Следовательно, фермеру выгодно перейти на новый сорт.

Ответ: Да, фермеру стоит использовать семена нового сорта, так как ожидаемый прирост урожайности составляет почти 19%, что превышает необходимый порог в 10%.

20.20. Общественная организация проводит беспроигрышную лотерею, прибыль от которой пойдёт на благотворительные цели. Каждый участник лотереи жертвует 500 р. и получает за это лотерейный билет, внутри которого написана сумма денежного приза. Таблица распределения вероятностей суммы приза имеет вид:

Сумма приза, р.

100, 200, 400, 1000, 5000

Вероятность

0,5, 0,3, 0,15, 0,03, 0,02

Оплата призов происходит за счёт пожертвованных средств. Какую сумму для благотворительных целей ожидает получить организация с одного лотерейного билета?

Чтобы определить, какую сумму для благотворительных целей организация ожидает получить с одного лотерейного билета, необходимо рассчитать математическое ожидание (среднее значение) суммы приза и вычесть его из суммы пожертвования за билет.

Сумма пожертвования за один билет составляет 500 р.

Математическое ожидание $E(X)$ случайной величины, в данном случае суммы приза, вычисляется по формуле, где суммируются произведения каждого возможного значения на его вероятность:

$E(X) = \sum x_i p_i$

Подставим значения из таблицы распределения вероятностей:

$E(\text{приз}) = (100 \cdot 0,5) + (200 \cdot 0,3) + (400 \cdot 0,15) + (1000 \cdot 0,03) + (5000 \cdot 0,02)$

Рассчитаем каждое слагаемое:

• $100 \cdot 0,5 = 50$
• $200 \cdot 0,3 = 60$
• $400 \cdot 0,15 = 60$
• $1000 \cdot 0,03 = 30$
• $5000 \cdot 0,02 = 100$

Теперь сложим полученные значения, чтобы найти математическое ожидание суммы приза:

$E(\text{приз}) = 50 + 60 + 60 + 30 + 100 = 300$ р.

Таким образом, средняя сумма, которую организация выплачивает в качестве приза за один билет, составляет 300 рублей.

Ожидаемая сумма для благотворительных целей с одного билета — это разница между суммой пожертвования и ожидаемой суммой приза:

Сумма для благотворительности = Сумма пожертвования - $E(\text{приз})$

Сумма для благотворительности = $500 - 300 = 200$ р.

Ответ: организация ожидает получить с одного лотерейного билета 200 рублей для благотворительных целей.