Номер 20.20, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 20. Случайные величины и их характеристики. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 20.20, страница 178.

20.20. Общественная организация проводит беспроигрышную лотерею, прибыль от которой пойдёт на благотворительные цели. Каждый участник лотереи жертвует 500 р. и получает за это лотерейный билет, внутри которого написана сумма денежного приза. Таблица распределения вероятностей суммы приза имеет вид:

Сумма приза, р.

100, 200, 400, 1000, 5000

Вероятность

0,5, 0,3, 0,15, 0,03, 0,02

Оплата призов происходит за счёт пожертвованных средств. Какую сумму для благотворительных целей ожидает получить организация с одного лотерейного билета?

Чтобы определить, какую сумму для благотворительных целей организация ожидает получить с одного лотерейного билета, необходимо рассчитать математическое ожидание (среднее значение) суммы приза и вычесть его из суммы пожертвования за билет.

Сумма пожертвования за один билет составляет 500 р.

Математическое ожидание $E(X)$ случайной величины, в данном случае суммы приза, вычисляется по формуле, где суммируются произведения каждого возможного значения на его вероятность:

$E(X) = \sum x_i p_i$

Подставим значения из таблицы распределения вероятностей:

$E(\text{приз}) = (100 \cdot 0,5) + (200 \cdot 0,3) + (400 \cdot 0,15) + (1000 \cdot 0,03) + (5000 \cdot 0,02)$

Рассчитаем каждое слагаемое:

• $100 \cdot 0,5 = 50$
• $200 \cdot 0,3 = 60$
• $400 \cdot 0,15 = 60$
• $1000 \cdot 0,03 = 30$
• $5000 \cdot 0,02 = 100$

Теперь сложим полученные значения, чтобы найти математическое ожидание суммы приза:

$E(\text{приз}) = 50 + 60 + 60 + 30 + 100 = 300$ р.

Таким образом, средняя сумма, которую организация выплачивает в качестве приза за один билет, составляет 300 рублей.

Ожидаемая сумма для благотворительных целей с одного билета — это разница между суммой пожертвования и ожидаемой суммой приза:

Сумма для благотворительности = Сумма пожертвования - $E(\text{приз})$

Сумма для благотворительности = $500 - 300 = 200$ р.

Ответ: организация ожидает получить с одного лотерейного билета 200 рублей для благотворительных целей.