Номер 20.23, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 4. Элементы теории вероятностей. Параграф 20. Случайные величины и их характеристики. Упражнения - номер 20.23, страница 179.

Учебник.

20.23. Вероятность забить пенальти (штрафной 11-метровый удар в футболе) равна $p$.

1) Составьте таблицу распределения вероятностей количества забитых мячей в серии из пяти пенальти.

2) С точностью до 1% вычислите вероятности из составленной таблицы распределения, если $p = 0,8$.

3) Основываясь на полученных в пункте 2 приближённых значениях вероятностей и пользуясь определением математического ожидания, найдите математическое ожидание количества забитых мячей в серии из пяти пенальти.

4) Сколько забитых мячей следовало бы ожидать в серии из 20 ударов при $p = 0,8$?

Решение.

Решение 2.

1) Пусть $X$ - случайная величина, равная количеству забитых мячей в серии из 5 пенальти. Данная ситуация описывается последовательностью из $n=5$ независимых испытаний Бернулли, где вероятность "успеха" (забитого мяча) в каждом испытании равна $p$. Вероятность "неудачи" (промаха) равна $q = 1-p$.
Вероятность того, что в $n$ испытаниях будет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:
$P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k}$
Подставим $n=5$ и найдем вероятности для всех возможных значений $k$ от 0 до 5:
$P(X=0) = C_5^0 p^0 (1-p)^5 = (1-p)^5$
$P(X=1) = C_5^1 p^1 (1-p)^4 = 5p(1-p)^4$
$P(X=2) = C_5^2 p^2 (1-p)^3 = 10p^2(1-p)^3$
$P(X=3) = C_5^3 p^3 (1-p)^2 = 10p^3(1-p)^2$
$P(X=4) = C_5^4 p^4 (1-p)^1 = 5p^4(1-p)$
$P(X=5) = C_5^5 p^5 (1-p)^0 = p^5$

Ответ: Таблица распределения вероятностей, где $k$ - количество забитых мячей, а $P(X=k)$ - соответствующая вероятность:
k=0: $P(X=0) = (1-p)^5$
k=1: $P(X=1) = 5p(1-p)^4$
k=2: $P(X=2) = 10p^2(1-p)^3$
k=3: $P(X=3) = 10p^3(1-p)^2$
k=4: $P(X=4) = 5p^4(1-p)$
k=5: $P(X=5) = p^5$

2) При $p=0.8$ вероятность промаха $q = 1 - 0.8 = 0.2$. Вычислим значения вероятностей из пункта 1 и округлим их с точностью до 1% (до двух знаков после запятой).
$P(X=0) = (0.2)^5 = 0.00032 \approx 0.00$
$P(X=1) = 5 \cdot 0.8 \cdot (0.2)^4 = 4 \cdot 0.0016 = 0.0064 \approx 0.01$
$P(X=2) = 10 \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^3 = 10 \cdot 0.64 \cdot 0.008 = 0.0512 \approx 0.05$
$P(X=3) = 10 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^2 = 10 \cdot 0.512 \cdot 0.04 = 0.2048 \approx 0.20$
$P(X=4) = 5 \cdot (0.8)^4 \cdot 0.2 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096 \approx 0.41$
$P(X=5) = (0.8)^5 = 0.32768 \approx 0.33$
Сумма округленных вероятностей: $0.00 + 0.01 + 0.05 + 0.20 + 0.41 + 0.33 = 1.00$.

Ответ: Таблица распределения вероятностей для $p=0.8$ с точностью до 1%:
Количество забитых мячей ($k$): 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Соответствующая вероятность $P(X=k)$: 0.00, 0.01, 0.05, 0.20, 0.41, 0.33.

3) Математическое ожидание $E(X)$ дискретной случайной величины по определению равно сумме произведений всех её возможных значений на их вероятности: $E(X) = \sum_{i} k_i \cdot P(X=k_i)$. Используем приближенные значения вероятностей, полученные в пункте 2.
$E(X) \approx (0 \cdot 0.00) + (1 \cdot 0.01) + (2 \cdot 0.05) + (3 \cdot 0.20) + (4 \cdot 0.41) + (5 \cdot 0.33)$
$E(X) \approx 0 + 0.01 + 0.10 + 0.60 + 1.64 + 1.65$
$E(X) \approx 4.00$
Этот результат совпадает со значением, вычисленным по формуле математического ожидания для биномиального распределения: $E(X) = n \cdot p = 5 \cdot 0.8 = 4$.

Ответ: Математическое ожидание количества забитых мячей в серии из пяти пенальти равно 4.

4) Вопрос "сколько забитых мячей следовало бы ожидать" является вопросом о нахождении математического ожидания. Для серии из $n=20$ ударов с вероятностью успеха $p=0.8$, случайная величина "количество забитых мячей" также имеет биномиальное распределение.
Используем формулу математического ожидания для биномиального распределения: $E(X) = n \cdot p$.
Подставляем значения $n=20$ и $p=0.8$:
$E(X) = 20 \cdot 0.8 = 16$.

Ответ: В серии из 20 ударов следовало бы ожидать 16 забитых мячей.