Номер 1, страница 196 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Когда сделаны уроки - номер 1, страница 196.

1. Найдите дисперсии случайных величин $x$ и $y$, рассмотренных в примере о безопасности автомобиля.

Поскольку в задании не приводится сам «пример о безопасности автомобиля», для решения задачи необходимо сделать предположение о данных этого примера. Предположим, что в примере рассматривались две дискретные случайные величины $x$ и $y$, и их совместное распределение вероятностей $p(x_i, y_j) = P(x=x_i, y=y_j)$ было задано следующей таблицей:

$p(x,y)$	$y=1$	$y=2$	$y=3$
$x=1$	0.10	0.20	0.10
$x=2$	0.05	0.10	0.45

Здесь $x$ может представлять количество установленных систем безопасности (например, 1 или 2), а $y$ — уровень безопасности, оцененный в баллах (1, 2 или 3).

Дисперсия случайной величины $X$ вычисляется по формуле: $D(X) = M[X^2] - (M[X])^2$, где $M[X]$ — математическое ожидание $X$.

Дисперсия случайной величины x

1. Найдем маргинальное распределение вероятностей для $x$. Для этого просуммируем вероятности по строкам таблицы:

$P(x=1) = p(1,1) + p(1,2) + p(1,3) = 0.10 + 0.20 + 0.10 = 0.40$

$P(x=2) = p(2,1) + p(2,2) + p(2,3) = 0.05 + 0.10 + 0.45 = 0.60$

Проверка: $0.40 + 0.60 = 1.00$.

2. Вычислим математическое ожидание $M[x]$.

$M[x] = \sum_{i} x_i \cdot P(x=x_i) = 1 \cdot 0.40 + 2 \cdot 0.60 = 0.4 + 1.2 = 1.6$

3. Вычислим математическое ожидание квадрата $M[x^2]$.

$M[x^2] = \sum_{i} x_i^2 \cdot P(x=x_i) = 1^2 \cdot 0.40 + 2^2 \cdot 0.60 = 1 \cdot 0.40 + 4 \cdot 0.60 = 0.4 + 2.4 = 2.8$

4. Вычислим дисперсию $D(x)$.

$D(x) = M[x^2] - (M[x])^2 = 2.8 - (1.6)^2 = 2.8 - 2.56 = 0.24$

Ответ: $D(x) = 0.24$

---

Дисперсия случайной величины y

1. Найдем маргинальное распределение вероятностей для $y$. Для этого просуммируем вероятности по столбцам таблицы:

$P(y=1) = p(1,1) + p(2,1) = 0.10 + 0.05 = 0.15$

$P(y=2) = p(1,2) + p(2,2) = 0.20 + 0.10 = 0.30$

$P(y=3) = p(1,3) + p(2,3) = 0.10 + 0.45 = 0.55$

Проверка: $0.15 + 0.30 + 0.55 = 1.00$.

2. Вычислим математическое ожидание $M[y]$.

$M[y] = \sum_{j} y_j \cdot P(y=y_j) = 1 \cdot 0.15 + 2 \cdot 0.30 + 3 \cdot 0.55 = 0.15 + 0.60 + 1.65 = 2.4$

3. Вычислим математическое ожидание квадрата $M[y^2]$.

$M[y^2] = \sum_{j} y_j^2 \cdot P(y=y_j) = 1^2 \cdot 0.15 + 2^2 \cdot 0.30 + 3^2 \cdot 0.55 = 1 \cdot 0.15 + 4 \cdot 0.30 + 9 \cdot 0.55 = 0.15 + 1.20 + 4.95 = 6.3$

4. Вычислим дисперсию $D(y)$.

$D(y) = M[y^2] - (M[y])^2 = 6.3 - (2.4)^2 = 6.3 - 5.76 = 0.54$

Ответ: $D(y) = 0.54$