Номер 20.22, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 20. Случайные величины и их характеристики. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 20.22, страница 179.

20.22. Чему равно математическое ожидание количества выпавших гербов при подбрасывании пяти монет? Подтвердите ответ расчётом, основанным на определении математического ожидания.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству выпавших гербов при подбрасывании пяти монет. Будем считать, что монеты "честные", то есть вероятность выпадения герба (Г) и решки (Р) для каждой монеты одинакова и равна $0.5$.

Подбрасывание пяти монет можно рассматривать как серию из $n=5$ независимых испытаний (схема Бернулли), в каждом из которых вероятность "успеха" (выпадения герба) равна $p=0.5$.

Общее количество всех возможных элементарных исходов при подбрасывании пяти монет равно $2^5 = 32$.

Случайная величина $X$ может принимать целые значения $k$ от 0 до 5. Чтобы найти математическое ожидание по определению, нам необходимо сначала найти вероятности $P(X=k)$ для каждого из этих значений.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле биномиального распределения: $P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний (количество способов выбрать $k$ элементов из $n$).

В нашем случае $n=5$ и $p=0.5$, поэтому формула принимает вид: $P(X=k) = C_5^k \cdot (0.5)^k \cdot (0.5)^{5-k} = C_5^k \cdot (0.5)^5 = \frac{C_5^k}{32}$.

Теперь вычислим вероятности для каждого возможного количества гербов $k$:

• Для $k=0$ (0 гербов): Число комбинаций $C_5^0 = 1$. Вероятность: $P(X=0) = \frac{1}{32}$.
• Для $k=1$ (1 герб): Число комбинаций $C_5^1 = 5$. Вероятность: $P(X=1) = \frac{5}{32}$.
• Для $k=2$ (2 герба): Число комбинаций $C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$. Вероятность: $P(X=2) = \frac{10}{32}$.
• Для $k=3$ (3 герба): Число комбинаций $C_5^3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$. Вероятность: $P(X=3) = \frac{10}{32}$.
• Для $k=4$ (4 герба): Число комбинаций $C_5^4 = 5$. Вероятность: $P(X=4) = \frac{5}{32}$.
• Для $k=5$ (5 гербов): Число комбинаций $C_5^5 = 1$. Вероятность: $P(X=5) = \frac{1}{32}$.

Согласно определению, математическое ожидание $E(X)$ для дискретной случайной величины равно сумме произведений всех её возможных значений на их вероятности: $E(X) = \sum_{k=0}^{5} k \cdot P(X=k)$.

Подставим наши значения и произведем расчет:

$E(X) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4) + 5 \cdot P(X=5)$

$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{32} + 1 \cdot \frac{5}{32} + 2 \cdot \frac{10}{32} + 3 \cdot \frac{10}{32} + 4 \cdot \frac{5}{32} + 5 \cdot \frac{1}{32}$

$E(X) = \frac{0 \cdot 1 + 1 \cdot 5 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 10 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 1}{32}$

$E(X) = \frac{0 + 5 + 20 + 30 + 20 + 5}{32} = \frac{80}{32}$

$E(X) = 2.5$

Ответ: 2.5