Номер 20.17, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 20. Случайные величины и их характеристики. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 20.17, страница 178.

20.17. Случайная величина $y$ равна количеству школьников, присутствующих на очередном занятии математического кружка. Известно, что $P(y=k)=ak^2$ для $k=5, 6, 7, 8, 9$. Найдите математическое ожидание количества школьников на занятии математического кружка.

Пусть $y$ — это случайная величина, равная количеству школьников на занятии. Согласно условию, $y$ может принимать значения $k \in \{5, 6, 7, 8, 9\}$. Вероятность того, что на занятии присутствует ровно $k$ школьников, задается формулой $P(y=k) = ak^2$, где $a$ — некоторый постоянный коэффициент.

1. Найдем коэффициент $a$.

Сумма вероятностей всех возможных исходов для дискретной случайной величины должна быть равна 1. Это свойство называется условием нормировки.

$\sum_{k=5}^{9} P(y=k) = 1$

Подставим в это уравнение выражение для вероятности:

$P(y=5) + P(y=6) + P(y=7) + P(y=8) + P(y=9) = 1$

$a \cdot 5^2 + a \cdot 6^2 + a \cdot 7^2 + a \cdot 8^2 + a \cdot 9^2 = 1$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2) = 1$

Вычислим сумму квадратов в скобках:

$a(25 + 36 + 49 + 64 + 81) = 1$

$a(255) = 1$

Отсюда находим значение коэффициента $a$:

$a = \frac{1}{255}$

2. Найдем математическое ожидание.

Математическое ожидание $E(y)$ случайной величины $y$ — это среднее взвешенное всех ее возможных значений, где в качестве весов используются их вероятности. Формула для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины:

$E(y) = \sum_{k} k \cdot P(y=k)$

Применим эту формулу к нашей задаче:

$E(y) = \sum_{k=5}^{9} k \cdot (ak^2) = a \sum_{k=5}^{9} k^3$

$E(y) = a(5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 + 9^3)$

Вычислим сумму кубов:

$5^3 = 125$

$6^3 = 216$

$7^3 = 343$

$8^3 = 512$

$9^3 = 729$

Сумма: $125 + 216 + 343 + 512 + 729 = 1925$.

Теперь подставим найденные значения $a$ и суммы кубов в формулу для математического ожидания:

$E(y) = \frac{1}{255} \cdot 1925 = \frac{1925}{255}$

Сократим полученную дробь. Заметим, что и числитель, и знаменатель делятся на 5:

$E(y) = \frac{1925 \div 5}{255 \div 5} = \frac{385}{51}$

Разложим числитель и знаменатель на простые множители, чтобы проверить, можно ли сократить дробь дальше: $385 = 5 \cdot 7 \cdot 11$ и $51 = 3 \cdot 17$. Общих множителей нет, следовательно, дробь несократимая.

Ответ: $\frac{385}{51}$