Номер 20.12, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 20. Случайные величины и их характеристики. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 20.12, страница 177.

20.12. Монету подбрасывают не более пяти раз до тех пор, пока первый раз не выпадет герб, и записывают, сколько раз пришлось подбросить монету. Составьте таблицу распределения вероятностей изучаемой случайной величины.

Пусть $X$ – это изучаемая случайная величина, равная количеству подбрасываний монеты. Эксперимент продолжается до первого выпадения герба, но выполняется не более пяти раз. Это означает, что возможные значения для $X$ – это 1, 2, 3, 4, 5.

Будем считать монету симметричной, то есть вероятность выпадения герба (Г) равна вероятности выпадения решки (Р) и составляет $P(Г) = P(Р) = \frac{1}{2}$.

Найдем вероятности для каждого возможного значения $X$.

Для X = 1. Это событие означает, что герб выпал при первом же подбрасывании. Последовательность исходов: Г. Вероятность этого события: $P(X=1) = P(Г) = \frac{1}{2}$.

Для X = 2. Это событие означает, что сначала выпала решка, а затем герб. Последовательность исходов: РГ. Вероятность этого события: $P(X=2) = P(Р) \cdot P(Г) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Для X = 3. Это событие означает, что сначала выпали две решки, а затем герб. Последовательность исходов: РРГ. Вероятность этого события: $P(X=3) = P(Р) \cdot P(Р) \cdot P(Г) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.

Для X = 4. Это событие означает, что сначала выпали три решки, а затем герб. Последовательность исходов: РРРГ. Вероятность этого события: $P(X=4) = P(Р)^3 \cdot P(Г) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.

Для X = 5. Это событие происходит, если эксперимент дошел до пятого броска. Это случается, когда в первых четырех бросках герб не выпал (последовательность РРРР). По условию, после пятого броска эксперимент прекращается независимо от его исхода. Таким образом, событие $X=5$ наступает, если первые четыре броска были решками. Вероятность этого: $P(X=5) = P(РРРР) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{16}{16} = 1$. Расчеты верны.

Таблица распределения вероятностей для случайной величины $X$ имеет следующий вид:

$X$	1	2	3	4	5
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$

Ответ:

$X$	1	2	3	4	5
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$