Номер 20.10, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 20. Случайные величины и их характеристики. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 20.10, страница 177.

20.10. В одной коробке лежат 2 шара, пронумерованные числами 1 и 2, а в другой – 3 шара, пронумерованные числами 1, 2 и 3. Из каждой коробки наугад берут по одному шару и записывают сумму чисел на взятых шарах. Какую случайную величину изучают в этом испытании? Составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

Какую случайную величину изучают в этом испытании?

В задаче описан эксперимент, в котором из каждой из двух коробок берут по одному шару и записывают сумму чисел на них. Число, которое получается в результате случайного эксперимента, является случайной величиной. Таким образом, в данном испытании изучается случайная величина, представляющая собой сумму номеров, выпавших на двух шарах.

Ответ: Изучаемая случайная величина — это сумма чисел на взятых шарах.

Составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

Для составления таблицы распределения вероятностей необходимо определить все возможные значения случайной величины и вероятности, с которыми они принимаются.
Пусть $X$ — это случайная величина (сумма чисел на шарах).
Первая коробка содержит шары с номерами $\{1, 2\}$.
Вторая коробка содержит шары с номерами $\{1, 2, 3\}$.

Общее число элементарных исходов эксперимента равно произведению количества шаров в каждой коробке, так как выбор из каждой коробки является независимым событием.
Общее число исходов: $N = 2 \times 3 = 6$.

Перечислим все возможные комбинации номеров шаров и соответствующие им суммы:

• Шар из первой коробки '1', из второй '1': сумма $X = 1+1=2$
• Шар из первой коробки '1', из второй '2': сумма $X = 1+2=3$
• Шар из первой коробки '1', из второй '3': сумма $X = 1+3=4$
• Шар из первой коробки '2', из второй '1': сумма $X = 2+1=3$
• Шар из первой коробки '2', из второй '2': сумма $X = 2+2=4$
• Шар из первой коробки '2', из второй '3': сумма $X = 2+3=5$

Случайная величина $X$ может принимать значения $\{2, 3, 4, 5\}$. Найдем вероятность для каждого значения:

• $P(X=2)$: Сумма равна 2 только для одной комбинации (1, 1). Вероятность: $P(X=2) = \frac{1}{6}$.
• $P(X=3)$: Сумма равна 3 для двух комбинаций (1, 2) и (2, 1). Вероятность: $P(X=3) = \frac{2}{6}$.
• $P(X=4)$: Сумма равна 4 для двух комбинаций (1, 3) и (2, 2). Вероятность: $P(X=4) = \frac{2}{6}$.
• $P(X=5)$: Сумма равна 5 только для одной комбинации (2, 3). Вероятность: $P(X=5) = \frac{1}{6}$.

Проверка: Сумма всех вероятностей должна быть равна 1.
$\frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Теперь можно составить таблицу распределения вероятностей:

Значение $X$	2	3	4	5
Вероятность $P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{1}{6}$

Ответ: Таблица распределения вероятностей случайной величины $X$ представлена выше.