Номер 20.13, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 20. Случайные величины и их характеристики. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 20.13, страница 177.

20.13. Игральный кубик подбрасывают не более трёх раз до тех пор, пока первый раз не выпадет шестёрка, и записывают, сколько раз пришлось подбросить кубик. Составьте таблицу распределения вероятностей записанной случайной величины.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству подбрасываний игрального кубика. Согласно условию задачи, эксперимент продолжается до тех пор, пока не выпадет шестёрка, но выполняется не более трёх бросков. Это означает, что случайная величина $X$ (количество бросков) может принимать значения 1, 2 или 3.

Определим вероятность выпадения шестёрки (назовем это событие "успех") и невыпадения шестёрки ("неудача") при одном броске:
Вероятность успеха (выпала шестёрка): $p = 1/6$.
Вероятность неудачи (шестёрка не выпала): $q = 1 - p = 1 - 1/6 = 5/6$.

Теперь рассчитаем вероятности для каждого возможного значения случайной величины $X$.

Случай 1: $X = 1$ (был сделан один бросок)
Это событие происходит, если шестёрка выпадает при первом же броске. Вероятность этого равна:
$P(X=1) = p = 1/6$.

Случай 2: $X = 2$ (было сделано два броска)
Это событие происходит, если при первом броске шестёрка не выпала (неудача), а при втором — выпала (успех). Так как броски являются независимыми событиями, их вероятности перемножаются:
$P(X=2) = q \cdot p = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$.

Случай 3: $X = 3$ (было сделано три броска)
Это событие происходит, если шестёрка не выпала ни в первом, ни во втором броске. Эксперимент в этом случае продолжается до третьего броска и заканчивается после него, независимо от результата третьего броска (так как максимальное количество бросков равно трём). Таким образом, для того чтобы было совершено три броска, необходимо, чтобы первые два были неудачными:
$P(X=3) = q \cdot q = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$.

Для проверки правильности расчётов сложим полученные вероятности. Их сумма должна быть равна 1:
$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = \frac{1}{6} + \frac{5}{36} + \frac{25}{36} = \frac{6}{36} + \frac{5}{36} + \frac{25}{36} = \frac{6 + 5 + 25}{36} = \frac{36}{36} = 1$.
Сумма вероятностей равна 1, следовательно, распределение найдено верно.

Составим итоговую таблицу распределения вероятностей для данной случайной величины.

Ответ:

Количество бросков ($x_i$)	1	2	3
Вероятность ($p_i$)	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{25}{36}$