Номер 20.9, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 20. Случайные величины и их характеристики. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 20.9, страница 176.

20.9. Игральный кубик подбрасывают два раза и записывают сумму чисел, выпавших на кубике. Какую случайную величину изучают в этом испытании? Составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

Какую случайную величину изучают в этом испытании?

В данном эксперименте подбрасывают игральный кубик два раза и записывают сумму выпавших чисел. Таким образом, изучаемая случайная величина — это сумма чисел (очков), полученная в результате двух бросков. Обозначим эту случайную величину как $X$.

Ответ: Сумма чисел, выпавших на кубике при двух бросках.

Составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

Чтобы составить таблицу распределения, необходимо найти все возможные значения случайной величины $X$ и соответствующие им вероятности.

1. Находим общее число исходов. При каждом броске кубика возможно 6 исходов (числа от 1 до 6). Так как броска два, общее число равновозможных элементарных исходов равно $N = 6 \times 6 = 36$.

2. Находим возможные значения случайной величины $X$.
Минимальная сумма: $1 + 1 = 2$.
Максимальная сумма: $6 + 6 = 12$.
Таким образом, $X$ может принимать любые целые значения из диапазона [2, 12].

3. Находим вероятности для каждого значения $X$. Вероятность $P(X=k)$ равна отношению числа благоприятных исходов $m_k$ (количества комбинаций, дающих сумму $k$) к общему числу исходов $N$.

• Для $X=2$: комбинация (1,1). $m_2 = 1$. $P(X=2) = \frac{1}{36}$.
• Для $X=3$: (1,2), (2,1). $m_3 = 2$. $P(X=3) = \frac{2}{36}$.
• Для $X=4$: (1,3), (2,2), (3,1). $m_4 = 3$. $P(X=4) = \frac{3}{36}$.
• Для $X=5$: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1). $m_5 = 4$. $P(X=5) = \frac{4}{36}$.
• Для $X=6$: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1). $m_6 = 5$. $P(X=6) = \frac{5}{36}$.
• Для $X=7$: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). $m_7 = 6$. $P(X=7) = \frac{6}{36}$.
• Для $X=8$: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). $m_8 = 5$. $P(X=8) = \frac{5}{36}$.
• Для $X=9$: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3). $m_9 = 4$. $P(X=9) = \frac{4}{36}$.
• Для $X=10$: (4,6), (5,5), (6,4). $m_{10} = 3$. $P(X=10) = \frac{3}{36}$.
• Для $X=11$: (5,6), (6,5). $m_{11} = 2$. $P(X=11) = \frac{2}{36}$.
• Для $X=12$: (6,6). $m_{12} = 1$. $P(X=12) = \frac{1}{36}$.

Проверка: сумма всех вероятностей $\sum P(X=k) = \frac{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{36}{36} = 1$.

Ответ:

$X_i$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$P_i$	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$