Номер 20.19, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 20. Случайные величины и их характеристики. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 20.19, страница 178.

20.19. Фермер, выращивающий горох, сомневается, использовать ли ему семена нового сорта. Цена семян нового сорта такова, что их имеет смысл использовать только в том случае, если урожайность гороха увеличится на 10%. Собрав урожай с двух экспериментальных участков, фермер оценил распределение количества горошин в стручке старого и нового сортов (см. таблицу). Стоит ли фермеру использовать семена нового сорта?

Количество горошин в стручке гороха	2	3	4	5	6	7	8
Вероятность для гороха старого сорта, %	12	13	20	26	18	6	5
Вероятность для гороха нового сорта, %	2	5	18	21	27	23	4

Чтобы определить, стоит ли фермеру использовать семена нового сорта, необходимо сравнить ожидаемую урожайность. Будем считать, что урожайность прямо пропорциональна среднему количеству горошин в стручке. Для нахождения среднего значения нужно вычислить математическое ожидание для каждого сорта по формуле:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

где $x_i$ — это количество горошин в стручке, а $p_i$ — соответствующая этому количеству вероятность (в долях от единицы).

Расчет среднего количества горошин для старого сорта

Сначала найдем математическое ожидание количества горошин в стручке для старого сорта ($E_{старый}$). Для этого данные о вероятностях из таблицы переведем из процентов в десятичные дроби.

$E_{старый} = (2 \cdot 0.12) + (3 \cdot 0.13) + (4 \cdot 0.20) + (5 \cdot 0.26) + (6 \cdot 0.18) + (7 \cdot 0.06) + (8 \cdot 0.05)$

$E_{старый} = 0.24 + 0.39 + 0.80 + 1.30 + 1.08 + 0.42 + 0.40 = 4.63$

Таким образом, среднее количество горошин в стручке для старого сорта составляет 4.63.

Расчет среднего количества горошин для нового сорта

Теперь аналогично рассчитаем математическое ожидание для нового сорта ($E_{новый}$):

$E_{новый} = (2 \cdot 0.02) + (3 \cdot 0.05) + (4 \cdot 0.18) + (5 \cdot 0.21) + (6 \cdot 0.27) + (7 \cdot 0.23) + (8 \cdot 0.04)$

$E_{новый} = 0.04 + 0.15 + 0.72 + 1.05 + 1.62 + 1.61 + 0.32 = 5.51$

Среднее количество горошин в стручке для нового сорта составляет 5.51.

Сравнение урожайности и вывод

По условию, использование семян нового сорта целесообразно, если урожайность увеличится на 10%. Найдем процентное увеличение урожайности нового сорта по сравнению со старым:

$\text{Прирост} = \frac{E_{новый} - E_{старый}}{E_{старый}} \times 100\%$

$\text{Прирост} = \frac{5.51 - 4.63}{4.63} \times 100\% = \frac{0.88}{4.63} \times 100\% \approx 18.98\%$

Полученный прирост урожайности составляет примерно 18.98%, что значительно больше требуемых 10%. Следовательно, фермеру выгодно перейти на новый сорт.

Ответ: Да, фермеру стоит использовать семена нового сорта, так как ожидаемый прирост урожайности составляет почти 19%, что превышает необходимый порог в 10%.