Номер 2, страница 196 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 2, страница 196.

Учебник.

2. Найдите дисперсию числа очков, выпадающих при бросании игрального кубика.

Решение 2.

Дисперсия случайной величины является мерой разброса её значений относительно её математического ожидания. Для нахождения дисперсии числа очков, выпадающих при бросании игрального кубика, необходимо выполнить несколько шагов.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная числу очков, выпавших при одном бросании кубика. Возможные значения, которые может принимать $X$, это $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Поскольку игральный кубик считается правильным (симметричным), вероятность выпадения каждой из шести граней одинакова: $P(X=k) = \frac{1}{6}$ для любого $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Дисперсию $D(X)$ можно рассчитать по формуле: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$, где $M(X)$ — математическое ожидание случайной величины $X$, а $M(X^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины $X$.

1. Найдем математическое ожидание $M(X)$

Математическое ожидание вычисляется как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности: $M(X) = \sum_{i=1}^{6} x_i \cdot p_i = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$ $M(X) = \frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$

2. Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$

Для этого нужно каждое значение случайной величины возвести в квадрат, умножить на его вероятность и сложить полученные произведения: $M(X^2) = \sum_{i=1}^{6} x_i^2 \cdot p_i = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6}$ $M(X^2) = \frac{1}{6}(1+4+9+16+25+36) = \frac{91}{6}$

3. Вычислим дисперсию $D(X)$

Теперь подставим найденные значения $M(X)$ и $M(X^2)$ в формулу для дисперсии: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2$ $D(X) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12: $D(X) = \frac{91 \cdot 2}{12} - \frac{49 \cdot 3}{12} = \frac{182}{12} - \frac{147}{12} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

Ответ: $\frac{35}{12}$