Номер 4, страница 200 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Когда сделаны уроки - номер 4, страница 200.

4. Вероятность события A в некотором испытании равна p. Проводят серию из $n$ таких испытаний и подсчитывают частоту $x_n = \frac{n_A}{n}$ события A, где $n_A$ - число испытаний в этой серии, в которых произошло событие A. Докажите, что $M(x_n) = p, D(x_n) = \frac{p(1-p)}{n}$.

Для решения этой задачи мы будем рассматривать случайную величину $n_A$ — число наступлений события A в серии из $n$ независимых испытаний. Эта величина подчиняется биномиальному закону распределения с параметрами $n$ (число испытаний) и $p$ (вероятность успеха в одном испытании).

Частота $x_n$ является случайной величиной, связанной с $n_A$ соотношением $x_n = \frac{n_A}{n}$.

Для доказательства воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии, а также известными формулами для биномиального распределения. Математическое ожидание числа успехов $n_A$ в биномиальном распределении равно $M(n_A) = np$, а его дисперсия равна $D(n_A) = np(1-p)$.

Докажите, что $M(x_n) = p$

Воспользуемся свойством математического ожидания: $M(cX) = cM(X)$, где $c$ — константа. В нашем случае $x_n = \frac{1}{n} \cdot n_A$, поэтому константа $c = \frac{1}{n}$.

$M(x_n) = M(\frac{n_A}{n})$

Выносим константу $\frac{1}{n}$ за знак математического ожидания:

$M(x_n) = \frac{1}{n} M(n_A)$

Подставляем известное значение математического ожидания для биномиальной случайной величины $M(n_A) = np$:

$M(x_n) = \frac{1}{n} \cdot (np) = p$

Таким образом, мы доказали, что математическое ожидание частоты события равно его вероятности.

Ответ: $M(x_n) = p$, что и требовалось доказать.

Докажите, что $D(x_n) = \frac{p(1-p)}{n}$

Воспользуемся свойством дисперсии: $D(cX) = c^2D(X)$, где $c$ — константа. В нашем случае, как и ранее, $x_n = \frac{1}{n} \cdot n_A$ и $c = \frac{1}{n}$.

$D(x_n) = D(\frac{n_A}{n})$

Выносим константу $\frac{1}{n}$ за знак дисперсии, возводя ее в квадрат:

$D(x_n) = (\frac{1}{n})^2 D(n_A) = \frac{1}{n^2} D(n_A)$

Подставляем известное значение дисперсии для биномиальной случайной величины $D(n_A) = np(1-p)$:

$D(x_n) = \frac{1}{n^2} \cdot (np(1-p))$

Сокращаем $n$ в числителе и знаменателе:

$D(x_n) = \frac{p(1-p)}{n}$

Таким образом, мы доказали требуемую формулу для дисперсии частоты.

Ответ: $D(x_n) = \frac{p(1-p)}{n}$, что и требовалось доказать.