Номер 4, страница 210 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Делимость натуральных чисел. Признаки делимости - номер 4, страница 210.

Учебник.

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 16 и 32;

2) 9 и 14;

3) 18 и 12;

4) 16 и 24.

Решение 2.

1) 16 и 32
Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка. Чтобы найти НОК для 16 и 32, можно заметить, что 32 является кратным 16 ($32 = 16 \cdot 2$). В таком случае, когда одно число делится нацело на другое, их НОК равно большему из этих чисел.
Таким образом, $НОК(16, 32) = 32$.
Другой способ — разложение на простые множители:
Разложим 16: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$
Разложим 32: $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$
Для нахождения НОК, берем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножаем их. В данном случае, это $2^5$.
$НОК(16, 32) = 2^5 = 32$.
Ответ: 32

2) 9 и 14
Для нахождения НОК чисел 9 и 14, разложим их на простые множители.
Разложение числа 9: $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
Разложение числа 14: $14 = 2 \cdot 7$
Данные числа не имеют общих простых множителей, следовательно, они являются взаимно простыми. НОК взаимно простых чисел равно их произведению.
$НОК(9, 14) = 9 \cdot 14 = 126$.
По общему правилу, берем все простые множители из обоих разложений ($2, 3, 7$) и перемножаем их: $НОК(9, 14) = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^1 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$.
Ответ: 126

3) 18 и 12
Найдем НОК для 18 и 12, разложив их на простые множители.
Разложение числа 18: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$
Разложение числа 12: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
Теперь выпишем все простые множители ($2$ и $3$), входящие в разложения, и для каждого возьмем наибольшую степень. Для множителя 2 наибольшая степень — 2 (из разложения числа 12), а для множителя 3 — 2 (из разложения числа 18).
Перемножим эти множители в их наибольших степенях:
$НОК(18, 12) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Ответ: 36

4) 16 и 24
Найдем НОК для 16 и 24 через разложение на простые множители.
Разложение числа 16: $16 = 2^4$
Разложение числа 24: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
Простые множители, которые встречаются в разложениях, это 2 и 3.
Наибольшая степень для множителя 2 — это 4 (из разложения числа 16).
Наибольшая степень для множителя 3 — это 1 (из разложения числа 24).
Перемножим множители в их наибольших степенях, чтобы найти НОК:
$НОК(16, 24) = 2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48$.
Ответ: 48