Номер 10, страница 210 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Делимость натуральных чисел. Признаки делимости. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 10, страница 210.

10. Сколько существует двузначных чисел, кратных числу:

1) $5$;

2) $9$;

3) $7$?

Для решения этой задачи мы определим диапазон двузначных чисел и для каждого случая найдем, сколько чисел в этом диапазоне делится на заданное число без остатка.Двузначные числа — это целые числа от 10 до 99.

Общий метод для нахождения количества чисел, кратных $k$, в диапазоне от $a$ до $b$:1. Найти количество чисел, кратных $k$, от 1 до $b$. Это равно целой части от деления $b$ на $k$: $\lfloor b/k \rfloor$.2. Найти количество чисел, кратных $k$, от 1 до $a-1$. Это равно целой части от деления $a-1$ на $k$: $\lfloor (a-1)/k \rfloor$.3. Вычесть второй результат из первого: $\lfloor b/k \rfloor - \lfloor (a-1)/k \rfloor$.В нашем случае $a=10$ и $b=99$.

1)

Найдем количество двузначных чисел, кратных числу 5.Применим общую формулу для $k=5$, $a=10$, $b=99$.Количество чисел, кратных 5, от 1 до 99:$N_1 = \lfloor \frac{99}{5} \rfloor = \lfloor 19.8 \rfloor = 19$.Количество чисел, кратных 5, от 1 до 9 (т.е. до $10-1$):$N_2 = \lfloor \frac{9}{5} \rfloor = \lfloor 1.8 \rfloor = 1$.Искомое количество двузначных чисел равно разности:$N = N_1 - N_2 = 19 - 1 = 18$.

Также можно рассмотреть эти числа как арифметическую прогрессию. Первое двузначное число, кратное 5, это 10 ($a_1 = 10$). Последнее — 95 ($a_n = 95$). Шаг прогрессии $d=5$.Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.$95 = 10 + (n-1)5$$85 = (n-1)5$$17 = n-1$$n = 18$.

Ответ: 18

2)

Найдем количество двузначных чисел, кратных числу 9.Применим общую формулу для $k=9$.Количество чисел, кратных 9, от 1 до 99:$N_1 = \lfloor \frac{99}{9} \rfloor = \lfloor 11 \rfloor = 11$.Количество чисел, кратных 9, от 1 до 9:$N_2 = \lfloor \frac{9}{9} \rfloor = \lfloor 1 \rfloor = 1$.Искомое количество двузначных чисел:$N = N_1 - N_2 = 11 - 1 = 10$.

Проверка через арифметическую прогрессию: первое такое число — 18, последнее — 99.$99 = 18 + (n-1)9$$81 = (n-1)9$$9 = n-1$$n = 10$.

Ответ: 10

3)

Найдем количество двузначных чисел, кратных числу 7.Применим общую формулу для $k=7$.Количество чисел, кратных 7, от 1 до 99:$N_1 = \lfloor \frac{99}{7} \rfloor = \lfloor 14.14... \rfloor = 14$.Количество чисел, кратных 7, от 1 до 9:$N_2 = \lfloor \frac{9}{7} \rfloor = \lfloor 1.28... \rfloor = 1$.Искомое количество двузначных чисел:$N = N_1 - N_2 = 14 - 1 = 13$.

Проверка через арифметическую прогрессию: первое такое число — 14, последнее — 98.$98 = 14 + (n-1)7$$84 = (n-1)7$$12 = n-1$$n = 13$.

Ответ: 13