Страница 210 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какие из чисел 24, 75, 83, 378, 573, 898 делятся нацело:

1) на 2

Для того чтобы число делилось нацело на 2, оно должно быть чётным, то есть его последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8. Проверим каждое число из данного списка: 24, 75, 83, 378, 573, 898.
- Число 24 оканчивается на 4 (чётная цифра), следовательно, оно делится на 2. $24 \div 2 = 12$.
- Число 75 оканчивается на 5 (нечётная цифра), следовательно, оно не делится на 2.
- Число 83 оканчивается на 3 (нечётная цифра), следовательно, оно не делится на 2.
- Число 378 оканчивается на 8 (чётная цифра), следовательно, оно делится на 2. $378 \div 2 = 189$.
- Число 573 оканчивается на 3 (нечётная цифра), следовательно, оно не делится на 2.
- Число 898 оканчивается на 8 (чётная цифра), следовательно, оно делится на 2. $898 \div 2 = 449$.
Таким образом, на 2 делятся числа, которые оканчиваются на чётную цифру.

Ответ: 24, 378, 898.

2) на 3

Для того чтобы число делилось нацело на 3, сумма его цифр должна делиться на 3. Проверим каждое число из списка, вычислив сумму его цифр.
- Для числа 24: сумма цифр $2 + 4 = 6$. Число 6 делится на 3 ($6 \div 3 = 2$), значит, и 24 делится на 3.
- Для числа 75: сумма цифр $7 + 5 = 12$. Число 12 делится на 3 ($12 \div 3 = 4$), значит, и 75 делится на 3.
- Для числа 83: сумма цифр $8 + 3 = 11$. Число 11 не делится на 3, значит, и 83 не делится на 3.
- Для числа 378: сумма цифр $3 + 7 + 8 = 18$. Число 18 делится на 3 ($18 \div 3 = 6$), значит, и 378 делится на 3.
- Для числа 573: сумма цифр $5 + 7 + 3 = 15$. Число 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$), значит, и 573 делится на 3.
- Для числа 898: сумма цифр $8 + 9 + 8 = 25$. Число 25 не делится на 3, значит, и 898 не делится на 3.
Таким образом, на 3 делятся числа, сумма цифр которых кратна трём.

Ответ: 24, 75, 378, 573.

2. Какие из чисел 28, 85, 108, 135, 240, 396 делятся нацело:

1) на 5;

2) на 9?

1) на 5

Согласно признаку делимости на 5, число делится нацело на 5, если его запись оканчивается цифрой 0 или 5. Проверим каждое из данных чисел (28, 85, 108, 135, 240, 396) на соответствие этому правилу:
- 28 оканчивается на 8, значит, не делится на 5.
- 85 оканчивается на 5, значит, делится на 5.
- 108 оканчивается на 8, значит, не делится на 5.
- 135 оканчивается на 5, значит, делится на 5.
- 240 оканчивается на 0, значит, делится на 5.
- 396 оканчивается на 6, значит, не делится на 5.
Таким образом, из предложенного списка на 5 делятся числа 85, 135 и 240.
Ответ: 85, 135, 240.

2) на 9

Согласно признаку делимости на 9, число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9. Вычислим сумму цифр для каждого числа:
- Для числа 28: сумма цифр равна $2 + 8 = 10$. Так как 10 не делится на 9, то и 28 не делится на 9.
- Для числа 85: сумма цифр равна $8 + 5 = 13$. Так как 13 не делится на 9, то и 85 не делится на 9.
- Для числа 108: сумма цифр равна $1 + 0 + 8 = 9$. Так как 9 делится на 9, то и 108 делится на 9.
- Для числа 135: сумма цифр равна $1 + 3 + 5 = 9$. Так как 9 делится на 9, то и 135 делится на 9.
- Для числа 240: сумма цифр равна $2 + 4 + 0 = 6$. Так как 6 не делится на 9, то и 240 не делится на 9.
- Для числа 396: сумма цифр равна $3 + 9 + 6 = 18$. Так как 18 делится на 9 ($18 \div 9 = 2$), то и 396 делится на 9.
Таким образом, из предложенного списка на 9 делятся числа 108, 135 и 396.
Ответ: 108, 135, 396.

3. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 24 и 42;

2) 18 и 30;

3) 128 и 192;

4) 328 и 624.

1) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 24 и 42, нужно разложить каждое число на простые множители.
Разложим число 24: $24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
Разложим число 42: $42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7$.
Теперь выберем общие простые множители из обоих разложений. Это 2 и 3.
Перемножив эти общие множители, получим НОД:
НОД (24; 42) = $2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6

2) Найдем НОД для чисел 18 и 30. Для этого разложим их на простые множители.
Разложим число 18: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$.
Разложим число 30: $30 = 2 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
Общими простыми множителями для 18 и 30 являются 2 и 3.
Найдем их произведение, чтобы получить НОД:
НОД (18; 30) = $2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6

3) Найдем НОД для чисел 128 и 192. Сначала разложим их на простые множители.
Разложим число 128: $128 = 2 \cdot 64 = 2 \cdot 2 \cdot 32 = 2^7$.
Разложим число 192: $192 = 2 \cdot 96 = 2 \cdot 2 \cdot 48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 24 = 2^5 \cdot 6 = 2^6 \cdot 3$.
Выберем общие множители в наименьшей степени. Общим множителем является 2. Наименьшая степень, в которой 2 входит в оба разложения, — это 6.
Следовательно, НОД (128; 192) = $2^6 = 64$.
Ответ: 64

4) Найдем НОД для чисел 328 и 624. Разложим их на простые множители.
Разложим число 328: $328 = 2 \cdot 164 = 2 \cdot 2 \cdot 82 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 41 = 2^3 \cdot 41$.
Разложим число 624: $624 = 2 \cdot 312 = 2 \cdot 2 \cdot 156 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 78 = 2^3 \cdot 78 = 2^3 \cdot 2 \cdot 39 = 2^4 \cdot 3 \cdot 13$.
Единственный общий простой множитель — это 2. Наименьшая степень, в которой он входит в оба разложения, — это 3.
Таким образом, НОД (328; 624) = $2^3 = 8$.
Ответ: 8

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 16 и 32;

2) 9 и 14;

3) 18 и 12;

4) 16 и 24.

1) 16 и 32
Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка. Чтобы найти НОК для 16 и 32, можно заметить, что 32 является кратным 16 ($32 = 16 \cdot 2$). В таком случае, когда одно число делится нацело на другое, их НОК равно большему из этих чисел.
Таким образом, $НОК(16, 32) = 32$.
Другой способ — разложение на простые множители:
Разложим 16: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$
Разложим 32: $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$
Для нахождения НОК, берем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножаем их. В данном случае, это $2^5$.
$НОК(16, 32) = 2^5 = 32$.
Ответ: 32

2) 9 и 14
Для нахождения НОК чисел 9 и 14, разложим их на простые множители.
Разложение числа 9: $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
Разложение числа 14: $14 = 2 \cdot 7$
Данные числа не имеют общих простых множителей, следовательно, они являются взаимно простыми. НОК взаимно простых чисел равно их произведению.
$НОК(9, 14) = 9 \cdot 14 = 126$.
По общему правилу, берем все простые множители из обоих разложений ($2, 3, 7$) и перемножаем их: $НОК(9, 14) = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^1 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$.
Ответ: 126

3) 18 и 12
Найдем НОК для 18 и 12, разложив их на простые множители.
Разложение числа 18: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$
Разложение числа 12: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
Теперь выпишем все простые множители ($2$ и $3$), входящие в разложения, и для каждого возьмем наибольшую степень. Для множителя 2 наибольшая степень — 2 (из разложения числа 12), а для множителя 3 — 2 (из разложения числа 18).
Перемножим эти множители в их наибольших степенях:
$НОК(18, 12) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Ответ: 36

4) 16 и 24
Найдем НОК для 16 и 24 через разложение на простые множители.
Разложение числа 16: $16 = 2^4$
Разложение числа 24: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
Простые множители, которые встречаются в разложениях, это 2 и 3.
Наибольшая степень для множителя 2 — это 4 (из разложения числа 16).
Наибольшая степень для множителя 3 — это 1 (из разложения числа 24).
Перемножим множители в их наибольших степенях, чтобы найти НОК:
$НОК(16, 24) = 2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48$.
Ответ: 48

5. Вместо звёздочки в записи $400*$ поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратным:

1) 2;

2) 5;

3) 9;

4) 3. Рассмотрите все возможные случаи.

1) 2

Число кратно 2, если его последняя цифра четная. В нашем случае число имеет вид 400*, где * — последняя цифра. Четными цифрами являются 0, 2, 4, 6, 8. Следовательно, вместо звездочки можно подставить любую из этих цифр, чтобы полученное число было кратным 2.
Возможные числа: 4000, 4002, 4004, 4006, 4008.
Ответ: 0, 2, 4, 6, 8.

2) 5

Число кратно 5, если его последняя цифра — 0 или 5. В числе 400* последней цифрой является звездочка. Таким образом, чтобы число было кратным 5, вместо звездочки можно подставить 0 или 5.
Возможные числа: 4000, 4005.
Ответ: 0, 5.

3) 9

Число кратно 9, если сумма его цифр кратна 9. Найдем сумму известных цифр в числе 400*: $4 + 0 + 0 = 4$. Пусть цифра, которую мы ищем, равна $x$. Тогда сумма всех цифр числа будет $4 + x$. Эта сумма должна делиться на 9 без остатка.
Поскольку $x$ — это цифра, она может принимать значения от 0 до 9. Рассмотрим возможные значения суммы $4 + x$:
Если $x=0$, сумма $4$.
...
Если $x=5$, сумма $4+5=9$. Число 9 кратно 9.
...
Если $x=9$, сумма $4+9=13$.
Единственное подходящее значение для $x$ — это 5.
Получим число 4005. Проверка: $4+0+0+5=9$. 9 делится на 9.
Ответ: 5.

4) 3

Число кратно 3, если сумма его цифр кратна 3. Аналогично предыдущему пункту, сумма цифр числа 400* равна $4 + x$. Эта сумма должна быть кратна 3.
Переберем все возможные цифры $x$ от 0 до 9 и найдем те, при которых сумма $4+x$ будет делиться на 3:
- Если $x=0$, сумма $4+0=4$ (не кратно 3).
- Если $x=1$, сумма $4+1=5$ (не кратно 3).
- Если $x=2$, сумма $4+2=6$ (кратно 3). Подходит.
- Если $x=3$, сумма $4+3=7$ (не кратно 3).
- Если $x=4$, сумма $4+4=8$ (не кратно 3).
- Если $x=5$, сумма $4+5=9$ (кратно 3). Подходит.
- Если $x=6$, сумма $4+6=10$ (не кратно 3).
- Если $x=7$, сумма $4+7=11$ (не кратно 3).
- Если $x=8$, сумма $4+8=12$ (кратно 3). Подходит.
- Если $x=9$, сумма $4+9=13$ (не кратно 3).
Таким образом, подходят цифры 2, 5 и 8.
Возможные числа: 4002, 4005, 4008.
Ответ: 2, 5, 8.

6. Неполное частное при делении двух двузначных чисел равно 9, а остаток – 8. Чему равно делимое?

Для решения задачи воспользуемся основной формулой деления с остатком:
$a = b \cdot q + r$,
где a — делимое, b — делитель, q — неполное частное, а r — остаток.

Из условия задачи нам известно:
1. Делимое a и делитель b — двузначные числа. Это означает, что $10 \le a \le 99$ и $10 \le b \le 99$.
2. Неполное частное $q = 9$.
3. Остаток $r = 8$.

Важным свойством деления с остатком является то, что остаток всегда строго меньше делителя: $r < b$.
Подставив известное значение остатка, получаем: $8 < b$.

Теперь подставим известные значения q и r в формулу для делимого:
$a = b \cdot 9 + 8$.

Поскольку делимое a должно быть двузначным числом, оно не может быть больше 99. Используем это ограничение:
$a \le 99$
$b \cdot 9 + 8 \le 99$

Решим полученное неравенство относительно b:
$9b \le 99 - 8$
$9b \le 91$
$b \le \frac{91}{9}$
$b \le 10.111...$

Теперь объединим все условия для делителя b:
– b — двузначное число, значит $b \ge 10$.
– b должно быть больше остатка, то есть $b > 8$.
– Из ограничения на делимое мы получили, что $b \le 10.111...$.

Поскольку b должно быть целым числом, единственное значение, удовлетворяющее всем трем условиям ($b \ge 10$ и $b \le 10$), это $b = 10$.

Теперь, когда мы нашли делитель, можем вычислить делимое a:
$a = 10 \cdot 9 + 8$
$a = 90 + 8$
$a = 98$

Проверим: делимое 98 и делитель 10 — оба двузначные числа. Деление 98 на 10 действительно дает неполное частное 9 и остаток 8. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 98.

7. Маша живёт в пятиэтажном доме в квартире № 40. В каждом подъезде на каждом этаже по 3 квартиры в порядке возрастания номеров: первая – слева, вторая – посередине, а третья – справа.

1) Какой номер подъезда, в котором живёт Маша?

2) На каком этаже живёт девушка?

3) Где расположена её квартира: слева, посередине или справа?

1) Какой номер подъезда, в котором живёт Маша?

Для начала вычислим, сколько всего квартир в одном подъезде. В доме 5 этажей, и на каждом этаже по 3 квартиры.
Следовательно, количество квартир в одном подъезде равно: $5 \times 3 = 15$.
Теперь определим, в какой подъезд попадает квартира № 40.
- В 1-м подъезде находятся квартиры с 1 по 15.
- Во 2-м подъезде находятся квартиры с 16 по 30 ($15+15=30$).
- В 3-м подъезде находятся квартиры с 31 по 45 ($30+15=45$).
Номер квартиры Маши (40) находится в промежутке от 31 до 45, значит, она живёт в 3-м подъезде.
Также можно рассчитать номер подъезда по формуле, где $N_{кв}$ — номер квартиры, а $K$ — количество квартир в подъезде: $N_{подъезда} = \lceil \frac{N_{кв}}{K} \rceil$.
$N_{подъезда} = \lceil \frac{40}{15} \rceil = \lceil 2.66... \rceil = 3$.
Ответ: 3.

2) На каком этаже живёт девушка?

Чтобы найти этаж, сначала определим порядковый номер квартиры Маши внутри её подъезда. Поскольку перед её подъездом (третьим) находятся два подъезда, в которых в сумме $2 \times 15 = 30$ квартир, порядковый номер её квартиры в подъезде будет:
$40 - 30 = 10$.
Теперь, зная, что на каждом этаже по 3 квартиры, найдем этаж для 10-й квартиры в подъезде. Для этого разделим её порядковый номер на количество квартир на этаже и округлим результат вверх до ближайшего целого числа.
$N_{этажа} = \lceil \frac{10}{3} \rceil = \lceil 3.33... \rceil = 4$.
Маша живёт на 4-м этаже.
Ответ: 4.

3) Где расположена её квартира: слева, посередине или справа?

Расположение квартиры на этаже зависит от её порядкового номера на этом этаже. Мы знаем, что порядковый номер квартиры Маши в её подъезде — 10.
На первых трёх этажах этого подъезда находится $3 \times 3 = 9$ квартир.
Следовательно, квартира Маши является первой на её, четвёртом, этаже ($10 - 9 = 1$).
Согласно условию задачи, первая квартира на этаже располагается слева.
Другой способ — найти остаток от деления порядкового номера квартиры в подъезде (10) на количество квартир на этаже (3).
$10 \pmod 3 = 1$.
Остаток 1 соответствует первой квартире на этаже (слева), остаток 2 — второй (посередине), а остаток 0 — третьей (справа). Так как остаток равен 1, квартира Маши расположена слева.
Ответ: слева.

8. Какое число является делителем любого натурального числа?

Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к определениям натурального числа и делителя.

Натуральные числа — это числа, используемые для счёта предметов: $1, 2, 3, 4, ...$ и так далее до бесконечности.

Делителем числа $a$ называется число $b$, на которое число $a$ делится без остатка. Это означает, что результат деления $a / b$ является целым числом.

Нам нужно найти такое число, которое будет делителем для каждого натурального числа. Давайте проверим число 1.

Возьмём любое натуральное число, обозначим его как $n$. Разделим это число на 1:
$n \div 1 = n$

Поскольку любое натуральное число $n$ по определению является целым, то результат деления любого натурального числа на 1 всегда будет целым числом (равным самому этому числу). Например:
$5 \div 1 = 5$
$28 \div 1 = 28$
$1000 \div 1 = 1000$

Следовательно, число 1 является делителем любого натурального числа. Любое другое число, большее 1 (например, 2), не может быть универсальным делителем, так как оно не делит нацело все натуральные числа (например, 3 не делится на 2 без остатка).

Ответ: 1.

9. Какое из чисел 4025, 7540, 2754, 6225 делится нацело на 3, но не делится нацело на 2?

Для того чтобы найти искомое число, необходимо проверить каждое из предложенных чисел (4025, 7540, 2754, 6225) на соответствие двум условиям: оно должно делиться на 3 и не должно делиться на 2.

Проверка на делимость на 2
Сначала отберем числа, которые не делятся нацело на 2. Согласно признаку делимости, число не делится на 2, если оно нечётное, то есть его последняя цифра — 1, 3, 5, 7 или 9.
- 4025: последняя цифра 5 (нечётная). Не делится на 2.
- 7540: последняя цифра 0 (чётная). Делится на 2, поэтому не подходит.
- 2754: последняя цифра 4 (чётная). Делится на 2, поэтому не подходит.
- 6225: последняя цифра 5 (нечётная). Не делится на 2.
Таким образом, для дальнейшей проверки остаются два числа: 4025 и 6225.

Проверка на делимость на 3
Теперь проверим оставшиеся числа на делимость на 3. Согласно признаку делимости, число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
- Для числа 4025: найдем сумму цифр $4 + 0 + 2 + 5 = 11$. Число 11 не делится на 3, значит, 4025 не подходит.
- Для числа 6225: найдем сумму цифр $6 + 2 + 2 + 5 = 15$. Число 15 делится на 3 ($15 : 3 = 5$), значит, 6225 подходит.

В результате мы нашли единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям: делится на 3 и не делится на 2. Это число 6225.

Ответ: 6225

10. Сколько существует двузначных чисел, кратных числу:

1) $5$;

2) $9$;

3) $7$?

Для решения этой задачи мы определим диапазон двузначных чисел и для каждого случая найдем, сколько чисел в этом диапазоне делится на заданное число без остатка.Двузначные числа — это целые числа от 10 до 99.

Общий метод для нахождения количества чисел, кратных $k$, в диапазоне от $a$ до $b$:1. Найти количество чисел, кратных $k$, от 1 до $b$. Это равно целой части от деления $b$ на $k$: $\lfloor b/k \rfloor$.2. Найти количество чисел, кратных $k$, от 1 до $a-1$. Это равно целой части от деления $a-1$ на $k$: $\lfloor (a-1)/k \rfloor$.3. Вычесть второй результат из первого: $\lfloor b/k \rfloor - \lfloor (a-1)/k \rfloor$.В нашем случае $a=10$ и $b=99$.

1)

Найдем количество двузначных чисел, кратных числу 5.Применим общую формулу для $k=5$, $a=10$, $b=99$.Количество чисел, кратных 5, от 1 до 99:$N_1 = \lfloor \frac{99}{5} \rfloor = \lfloor 19.8 \rfloor = 19$.Количество чисел, кратных 5, от 1 до 9 (т.е. до $10-1$):$N_2 = \lfloor \frac{9}{5} \rfloor = \lfloor 1.8 \rfloor = 1$.Искомое количество двузначных чисел равно разности:$N = N_1 - N_2 = 19 - 1 = 18$.

Также можно рассмотреть эти числа как арифметическую прогрессию. Первое двузначное число, кратное 5, это 10 ($a_1 = 10$). Последнее — 95 ($a_n = 95$). Шаг прогрессии $d=5$.Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.$95 = 10 + (n-1)5$$85 = (n-1)5$$17 = n-1$$n = 18$.

Ответ: 18

2)

Найдем количество двузначных чисел, кратных числу 9.Применим общую формулу для $k=9$.Количество чисел, кратных 9, от 1 до 99:$N_1 = \lfloor \frac{99}{9} \rfloor = \lfloor 11 \rfloor = 11$.Количество чисел, кратных 9, от 1 до 9:$N_2 = \lfloor \frac{9}{9} \rfloor = \lfloor 1 \rfloor = 1$.Искомое количество двузначных чисел:$N = N_1 - N_2 = 11 - 1 = 10$.

Проверка через арифметическую прогрессию: первое такое число — 18, последнее — 99.$99 = 18 + (n-1)9$$81 = (n-1)9$$9 = n-1$$n = 10$.

Ответ: 10

3)

Найдем количество двузначных чисел, кратных числу 7.Применим общую формулу для $k=7$.Количество чисел, кратных 7, от 1 до 99:$N_1 = \lfloor \frac{99}{7} \rfloor = \lfloor 14.14... \rfloor = 14$.Количество чисел, кратных 7, от 1 до 9:$N_2 = \lfloor \frac{9}{7} \rfloor = \lfloor 1.28... \rfloor = 1$.Искомое количество двузначных чисел:$N = N_1 - N_2 = 14 - 1 = 13$.

Проверка через арифметическую прогрессию: первое такое число — 14, последнее — 98.$98 = 14 + (n-1)7$$84 = (n-1)7$$12 = n-1$$n = 13$.

Ответ: 13

11. Может ли быть простым числом сумма четырёх последовательных натуральных чисел?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим сумму четырёх последовательных натуральных чисел в общем виде. Пусть первое из этих чисел равно $n$, где $n$ — натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$).

Тогда четыре последовательных натуральных числа можно записать как $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$.

Найдём их сумму, которую обозначим как $S$:

$S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3)$

Сложим все слагаемые:

$S = 4n + 6$

Теперь проанализируем полученное выражение $S = 4n + 6$. Можно вынести общий множитель 2 за скобки:

$S = 2(2n + 3)$

Из этой формулы видно, что сумма $S$ всегда является произведением числа 2 и числа $(2n+3)$. Это означает, что $S$ всегда является чётным числом.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Единственное чётное простое число — это 2. Все остальные чётные числа больше 2 являются составными, так как делятся на 2.

Проверим, может ли сумма $S$ быть равной 2. Для этого решим уравнение:

$4n + 6 = 2$

$4n = 2 - 6$

$4n = -4$

$n = -1$

Значение $n = -1$ не является натуральным числом, так как по определению натуральные числа — это $1, 2, 3, \ldots$. Следовательно, сумма четырёх последовательных натуральных чисел не может быть равна 2.

Поскольку $n$ — натуральное число, минимальное значение $n$ равно 1. Найдём минимально возможную сумму:

При $n=1$, $S = 4(1) + 6 = 10$.

Таким образом, сумма четырёх последовательных натуральных чисел всегда является чётным числом, которое больше 2 (минимальное значение равно 10). Любое такое число является составным, так как оно делится на 1, на само себя и на 2. Значит, оно не может быть простым.

Ответ: нет, не может.

12. В парке посадили каштаны и дубы, причём на каждых 3 дуба приходилось 2 каштана. Сколько всего посадили деревьев в парке, если дубов посадили 24?

В задаче указано, что на каждые 3 дуба приходится 2 каштана. Это establishes a ratio between the number of oaks and chestnuts. We can think of the trees being planted in groups, where each group consists of 3 oaks and 2 chestnuts.

1. Найдем, сколько таких групп деревьев было посажено. Нам известно, что всего посадили 24 дуба, а в каждой группе по 3 дуба. Чтобы найти количество групп, разделим общее количество дубов на количество дубов в одной группе:
Количество групп = $24 \div 3 = 8$

Таким образом, в парке было посажено 8 таких групп деревьев.

2. Теперь вычислим, сколько было посажено каштанов. В каждой группе по 2 каштана, а всего у нас 8 групп.
Количество каштанов = $8 \times 2 = 16$

Итак, в парке посадили 16 каштанов.

3. Чтобы найти общее количество деревьев в парке, сложим количество дубов и количество каштанов.
Общее количество деревьев = Количество дубов + Количество каштанов = $24 + 16 = 40$

Ответ: 40

13. Сократимой или несократимой является дробь:

1) $ \frac{7425}{10^5 - 1} $;

2) $ \frac{10^{100} + 5}{35} $;

3) $ \frac{10^{100} + 5}{36} $;

1) Рассмотрим дробь $\frac{7425}{10^5 - 1}$.

Дробь является сократимой, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1. Для проверки найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя или просто проверим их на делимость на некоторые простые числа.

Знаменатель дроби: $10^5 - 1 = 100000 - 1 = 99999$.

Воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Для числителя 7425: сумма цифр равна $7 + 4 + 2 + 5 = 18$. Так как 18 делится на 9, то и 7425 делится на 9.

Для знаменателя 99999: сумма цифр равна $9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45$. Так как 45 делится на 9, то и 99999 делится на 9.

Поскольку и числитель, и знаменатель делятся на 9, у них есть общий делитель, равный 9. Следовательно, дробь является сократимой.

Ответ: сократимой.

2) Рассмотрим дробь $\frac{10^{100} + 5}{35}$.

Чтобы дробь была сократимой, ее числитель и знаменатель должны иметь общий делитель, больший 1. Знаменатель равен $35 = 5 \times 7$. Проверим, делится ли числитель $10^{100} + 5$ на 5 или на 7.

Воспользуемся признаком делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.

Число $10^{100}$ представляет собой единицу со 100 нулями, то есть оно оканчивается на 0. Следовательно, $10^{100}$ делится на 5.

Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 5, также делится на 5. Числитель $10^{100} + 5$ является суммой двух чисел ($10^{100}$ и 5), каждое из которых делится на 5. Значит, и вся сумма $10^{100} + 5$ делится на 5.

Другой способ: число $10^{100} + 5$ оканчивается на цифру 5 ($...0 + 5 = ...5$), следовательно, оно делится на 5.

Так как и числитель ($10^{100} + 5$), и знаменатель (35) делятся на 5, дробь является сократимой.

Ответ: сократимой.

3) Рассмотрим дробь $\frac{10^{100} + 5}{36}$.

Дробь будет сократимой, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1. Знаменатель равен $36 = 4 \times 9 = 2^2 \times 3^2$. Проверим, делится ли числитель $10^{100} + 5$ на простые множители знаменателя: 2 или 3.

Проверим делимость на 2: Число $10^{100}$ является четным (оканчивается на 0), а число 5 — нечетным. Сумма четного и нечетного чисел всегда нечетна. Значит, $10^{100} + 5$ — нечетное число и на 2 не делится.

Проверим делимость на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Число $10^{100}$ — это 1 и 100 нулей. Число $10^{100} + 5$ будет выглядеть как 1, за которым следуют 99 нулей, и последняя цифра 5. То есть, $100...05$.

Сумма цифр числителя равна $1 + \underbrace{0 + 0 + \dots + 0}_{99 \text{ нулей}} + 5 = 6$.

Так как сумма цифр (6) делится на 3, то и само число $10^{100} + 5$ делится на 3.

Знаменатель 36 также делится на 3.

Поскольку и числитель, и знаменатель делятся на 3, у них есть общий делитель, равный 3. Следовательно, дробь является сократимой.

Ответ: сократимой.

14. Может ли произведение нескольких простых чисел заканчиваться цифрой 0? Цифрой 5?

...цифрой 0?

Да, произведение нескольких простых чисел может заканчиваться цифрой 0.Число заканчивается на 0, если оно делится на 10 без остатка. Согласно основной теореме арифметики, для этого в разложении числа на простые множители должны присутствовать одновременно множители 2 и 5, так как $10 = 2 \times 5$.Числа 2 и 5 являются простыми. Следовательно, если взять в качестве сомножителей как минимум эти два простых числа, их произведение будет заканчиваться на 0.Например, возьмём простые числа 2 и 5. Их произведение: $2 \times 5 = 10$.Или возьмём простые числа 2, 3 и 5. Их произведение: $2 \times 3 \times 5 = 30$.

Ответ: да, может.

...цифрой 5?

Да, произведение нескольких простых чисел может заканчиваться цифрой 5.Число заканчивается на 5, если оно делится на 5 без остатка, но при этом не делится на 2 (то есть является нечётным).Для этого в наборе простых сомножителей должен присутствовать множитель 5, но должен отсутствовать множитель 2.Все простые числа, кроме 2, являются нечётными. Произведение любого количества нечётных чисел всегда даёт нечётное число. Если нечётное число умножить на 5, результат всегда будет заканчиваться на 5.Следовательно, если в наборе перемножаемых простых чисел есть 5, но нет 2, их произведение будет заканчиваться на 5.Например, возьмём простые числа 3 и 5. Их произведение: $3 \times 5 = 15$.Или возьмём простые числа 5, 7 и 11. Их произведение: $5 \times 7 \times 11 = 385$.

Ответ: да, может.

15. Простым или составным является число $a$, если оно кратно числу $25$?

Чтобы определить, является ли число a простым или составным, обратимся к определениям.

Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя.

Составное число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет более двух делителей.

Согласно условию, число a кратно 25. Это означает, что a делится на 25 без остатка. Такое число можно представить в виде формулы: $a = 25 \cdot k$, где k — некоторое натуральное число ($k \ge 1$).

Рассмотрим делители числа a. Из того, что $a = 25 \cdot k$, следует, что 25 является делителем числа a. В свою очередь, число 25 делится на 5, так как $25 = 5 \cdot 5$. Следовательно, число 5 также является делителем числа a.

Таким образом, любое число a, кратное 25, будет иметь как минимум три различных делителя: 1, 5 и само число a. (Наименьшее возможное значение для a — это 25, при $k=1$. В этом случае делители 1, 5 и 25 различны. При $k > 1$, число a будет еще больше, и эти три делителя также будут различны).

Поскольку любое число a, кратное 25, имеет более двух делителей, оно по определению не может быть простым. Следовательно, такое число всегда является составным.

Ответ: число a является составным.

16. Кратна ли сумма:

1) $33^3 + 3$ числу 10;

2) $10^{10} + 5$ числу 3?

1) Чтобы определить, кратна ли сумма $33^3 + 3$ числу 10, необходимо найти ее последнюю цифру. Число кратно 10 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0.

Найдем последнюю цифру первого слагаемого, $33^3$. Она совпадает с последней цифрой числа $3^3$.

Рассмотрим, на какую цифру оканчиваются степени числа 3:

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$

Последняя цифра числа $3^3$ равна 7. Следовательно, и число $33^3$ оканчивается на 7.

Второе слагаемое — это число 3. Его последняя цифра — 3.

Последняя цифра суммы $33^3 + 3$ равна последней цифре суммы их последних цифр: $7 + 3 = 10$.

Последняя цифра числа 10 — это 0. Значит, сумма $33^3 + 3$ оканчивается на 0, а следовательно, она кратна 10.

Ответ: да, кратна.

2) Чтобы определить, кратна ли сумма $10^{10} + 5$ числу 3, воспользуемся признаком делимости на 3. Число кратно 3, если сумма его цифр кратна 3.

Представим число $10^{10}$ в виде 1 с десятью нулями: $10\,000\,000\,000$.

Тогда сумма $10^{10} + 5$ будет равна $10\,000\,000\,000 + 5 = 10\,000\,000\,005$.

Теперь найдем сумму цифр полученного числа:

$1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 5 = 6$.

Сумма цифр равна 6. Проверим, делится ли 6 на 3:

$6 \div 3 = 2$.

Поскольку сумма цифр числа $10^{10} + 5$ делится на 3, то и само число кратно 3.

Ответ: да, кратна.