Страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

81. При засолке 10 кг рыбы кладут 3,5 кг соли. Сколько требуется соли, чтобы засолить 24 кг рыбы?

Данная задача решается с помощью пропорции, так как количество требуемой соли прямо пропорционально количеству рыбы. Чем больше рыбы, тем больше соли нужно. Мы можем решить эту задачу двумя способами.

Способ 1: Составление пропорции

Пусть $x$ кг — это количество соли, необходимое для засолки 24 кг рыбы.
Мы знаем, что:
на 10 кг рыбы — 3,5 кг соли,
на 24 кг рыбы — $x$ кг соли.

Составим пропорциональное соотношение:
$ \frac{10}{24} = \frac{3,5}{x} $

Чтобы найти $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$ 10 \cdot x = 24 \cdot 3,5 $
$ 10x = 84 $
Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 10:
$ x = \frac{84}{10} $
$ x = 8,4 $

Способ 2: Приведение к единице

1. Сначала определим, сколько соли требуется для засолки 1 кг рыбы. Для этого разделим массу соли на массу рыбы:
$ 3,5 \text{ кг} \div 10 \text{ кг} = 0,35 \text{ кг} $
Это означает, что на 1 кг рыбы необходимо 0,35 кг соли.

2. Теперь, зная норму на 1 кг, рассчитаем, сколько соли понадобится для 24 кг рыбы:
$ 0,35 \text{ кг/кг} \cdot 24 \text{ кг} = 8,4 \text{ кг} $

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: для засолки 24 кг рыбы потребуется 8,4 кг соли.

82. Если рабочий будет изготавливать ежедневно по 10 деталей, то он выполнит заказ за 24 дня. За сколько дней он выполнит заказ, если будет изготавливать ежедневно по 12 деталей?

Это задача на обратную пропорциональность: чем выше производительность труда (количество деталей в день), тем меньше времени (дней) требуется на выполнение всего заказа.

1. Сначала вычислим общее количество деталей в заказе. Для этого умножим количество деталей, изготавливаемых за один день, на количество дней, за которое выполняется заказ.

$10 \text{ деталей/день} \times 24 \text{ дня} = 240 \text{ деталей}$

Таким образом, весь заказ состоит из 240 деталей.

2. Теперь, зная общее количество деталей, мы можем найти, сколько дней потребуется на выполнение заказа, если рабочий будет изготавливать по 12 деталей в день. Для этого разделим общее количество деталей на новую дневную производительность.

$240 \text{ деталей} \div 12 \text{ деталей/день} = 20 \text{ дней}$

Ответ: 20 дней.

83. Огурцами засадили $\frac{1}{3}$ огорода, а помидорами – 30%. Какими растениями, огурцами или помидорами, засадили большую площадь?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо сравнить две величины: долю огорода, засаженную огурцами ($ \frac{1}{3} $), и долю, засаженную помидорами (30%). Чтобы их можно было сравнить, приведем их к одному формату.

Переведем долю, занятую огурцами, из обыкновенной дроби в проценты. Для этого умножим дробь на 100%.

$ \frac{1}{3} \times 100\% = \frac{100}{3}\% = 33 \frac{1}{3}\% $

Теперь сравним доли площадей, занятых каждой культурой:

Площадь под огурцами: $ 33 \frac{1}{3}\% $.

Площадь под помидорами: $ 30\% $.

Поскольку $ 33 \frac{1}{3}\% > 30\% $, то площадь, засаженная огурцами, больше площади, засаженной помидорами.

Ответ: Огурцами засадили большую площадь, так как $ \frac{1}{3} $ (что составляет $33 \frac{1}{3}\%$) больше, чем 30%.

84. Из купленных тетрадей $20\%$ были в клетку, а остальные – в линейку. Во сколько раз больше купили тетрадей в линейку, чем в клетку?

Для решения задачи примем общее количество купленных тетрадей за 100%.

1. Определим долю тетрадей в линейку в процентах.
По условию, 20% всех тетрадей были в клетку. Все остальные тетради были в линейку. Чтобы найти их процент, нужно из общего количества (100%) вычесть процент тетрадей в клетку:
$100\% - 20\% = 80\%$
Следовательно, 80% купленных тетрадей были в линейку.

2. Найдем, во сколько раз тетрадей в линейку больше, чем тетрадей в клетку.
Для этого необходимо разделить процентное количество тетрадей в линейку на процентное количество тетрадей в клетку:
$\frac{80\%}{20\%} = 4$
Это означает, что тетрадей в линейку купили в 4 раза больше, чем тетрадей в клетку.

Ответ: в 4 раза.

85. В солнечный день кваса продают на 50% больше, чем в пасмурный. Во сколько раз в пасмурный день продают меньше кваса, чем в солнечный?

Пусть $x$ — это количество кваса, которое продают в пасмурный день.

Согласно условию, в солнечный день продают на 50% больше, чем в пасмурный. 50% — это половина от исходного количества, то есть $0.5x$.Следовательно, количество кваса, проданного в солнечный день, составляет:$x + 0.5x = 1.5x$

Теперь необходимо ответить на вопрос: "Во сколько раз в пасмурный день продают меньше кваса, чем в солнечный?".Для этого нужно найти отношение большего количества (продажи в солнечный день) к меньшему количеству (продажи в пасмурный день).

Составим отношение:$\frac{\text{Продажи в солнечный день}}{\text{Продажи в пасмурный день}} = \frac{1.5x}{x}$

Сократив $x$ в числителе и знаменателе, получаем:$\frac{1.5x}{x} = 1.5$

Это означает, что продажи в солнечный день в 1,5 раза больше, чем в пасмурный. Соответственно, в пасмурный день продажи в 1,5 раза меньше, чем в солнечный.

Ответ: в 1,5 раза.

86. Сплав содержит $9\%$ цинка. Сколько килограммов цинка содержится в 270 кг сплава?

В задаче указано, что общая масса сплава составляет 270 кг, а содержание цинка в этом сплаве равно 9%. Чтобы найти, сколько килограммов цинка содержится в сплаве, необходимо вычислить 9% от 270 кг.

1. Первым шагом переведем процентное содержание цинка в десятичную дробь. По определению, 1% — это одна сотая часть числа. Следовательно, чтобы перевести 9% в дробь, нужно разделить 9 на 100.

$9\% = \frac{9}{100} = 0.09$

2. Вторым шагом умножим общую массу сплава на полученную десятичную дробь. Это позволит нам найти массу цинка в килограммах.

$270 \text{ кг} \times 0.09 = 24.3 \text{ кг}$

Расчет можно провести следующим образом: $270 \times 9 = 2430$. Так как мы умножали на 0.09 (число с двумя знаками после запятой), в итоговом числе необходимо отделить запятой два знака справа, что дает 24,30 или 24,3.

Ответ: 24,3 кг.

87. От верёвки отрезали $50\%$ её длины, а затем $20\%$ остатка. Сколько процентов от первоначальной длины верёвки осталось?

Для решения этой задачи примем первоначальную длину верёвки за 100%. Решение можно разбить на несколько шагов.

1. Находим остаток после первого отрезания.
Сначала от верёвки отрезали 50% её длины. Следовательно, остаток составил:
$100\% - 50\% = 50\%$
Таким образом, после первого действия осталась половина верёвки.

2. Находим, сколько отрезали во второй раз относительно первоначальной длины.
Затем отрезали 20% от остатка. Остаток, как мы выяснили, составляет 50% от первоначальной длины. Значит, нам нужно найти 20% от 50%.
Для этого переведём проценты в десятичные дроби и перемножим их:
$20\% = 0.2$
$50\% = 0.5$
Величина второго отрезанного куска от первоначальной длины:
$0.2 \times 0.5 = 0.1$
В процентах это составляет $0.1 \times 100\% = 10\%$ от первоначальной длины.

3. Находим итоговый остаток.
После первого отрезания осталось 50% верёвки. Во второй раз отрезали ещё 10% от первоначальной длины. Чтобы найти итоговый остаток, вычтем из остатка после первого отрезания величину второго отрезанного куска:
$50\% - 10\% = 40\%$

Альтернативный способ:
После первого отрезания осталось $1 - 0.5 = 0.5$ от всей верёвки.
Затем от этого остатка отрезали 20%, значит, от него осталось $100\% - 20\% = 80\%$, или $0.8$.
Чтобы найти итоговую оставшуюся часть, нужно умножить оставшиеся доли друг на друга:
$0.5 \times 0.8 = 0.4$
Чтобы выразить результат в процентах, умножаем на 100:
$0.4 \times 100\% = 40\%$

Ответ: 40%.

88. Сплав меди и олова массой 5,5 кг содержит меди на 20% больше, чем олова. Найдите массу меди в этом сплаве.

Пусть масса олова в сплаве равна $x$ кг.

По условию задачи, масса меди на 20% больше массы олова. Чтобы найти 20% от числа, нужно умножить его на 0,2. Следовательно, масса меди в сплаве составляет $x + 0.2x = 1.2x$ кг.

Общая масса сплава является суммой масс меди и олова и по условию равна 5,5 кг. Составим и решим уравнение:

$x + 1.2x = 5.5$

Сложим слагаемые в левой части уравнения:

$2.2x = 5.5$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2,2:

$x = \frac{5.5}{2.2}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$x = \frac{55}{22}$

Сократим дробь на 11:

$x = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, масса олова ($x$) в сплаве составляет 2,5 кг.

Задача требует найти массу меди. Подставим найденное значение $x$ в выражение для массы меди:

Масса меди = $1.2x = 1.2 \cdot 2.5 = 3$ кг.

Проверка: масса меди (3 кг) + масса олова (2,5 кг) = 5,5 кг. $3 / 2.5 = 1.2$, что означает, что медь составляет 120% от массы олова, или на 20% больше. Условия задачи выполнены.

Ответ: 3 кг.

89. Цену товара сначала увеличили на 50%, а затем уменьшили на 50%. Увеличилась или уменьшилась и на сколько процентов первоначальная цена товара?

Чтобы определить, как изменилась цена, давайте обозначим первоначальную цену товара переменной $x$.

Первым шагом цену увеличили на 50%. Увеличение на 50% эквивалентно умножению на 1.5. Таким образом, новая цена после увеличения составила:
$x \times (1 + \frac{50}{100}) = x \times (1 + 0.5) = 1.5x$.

Вторым шагом новую цену $1.5x$ уменьшили на 50%. Важно отметить, что 50% теперь вычисляются от текущей цены ($1.5x$), а не от первоначальной. Уменьшение на 50% эквивалентно умножению на 0.5. Итоговая цена стала:
$1.5x \times (1 - \frac{50}{100}) = 1.5x \times (1 - 0.5) = 1.5x \times 0.5 = 0.75x$.

Теперь сравним итоговую цену ($0.75x$) с первоначальной ($x$).
Поскольку $0.75x < x$, цена товара уменьшилась.

Чтобы найти, на сколько процентов уменьшилась цена, найдем разницу между первоначальной и итоговой ценой и выразим ее в процентах от первоначальной цены.
Разница в цене: $x - 0.75x = 0.25x$.
Процентное уменьшение: $\frac{0.25x}{x} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\%$.

Ответ: Первоначальная цена товара уменьшилась на 25%.

90. Цену товара сначала снизили на $20\%$, а затем повысили на $30\%$. Как и на сколько процентов изменилась первоначальная цена вследствие этих двух переоценок?

Для решения задачи обозначим первоначальную цену товара за $x$.

Первым действием цену снизили на 20%. Это означает, что новая цена составила $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной. Чтобы найти новую цену ($x_1$), нужно первоначальную цену умножить на коэффициент, соответствующий 80%, то есть на 0.8.

$x_1 = x \cdot (1 - \frac{20}{100}) = x \cdot 0.8 = 0.8x$

Вторым действием полученную цену $x_1$ повысили на 30%. Важно учесть, что проценты начисляются на текущую цену ($0.8x$), а не на первоначальную. Повышение на 30% соответствует умножению на коэффициент $1 + \frac{30}{100} = 1.3$.

Найдем конечную цену ($x_2$):

$x_2 = x_1 \cdot 1.3 = (0.8x) \cdot 1.3 = 1.04x$

Теперь сравним конечную цену ($1.04x$) с первоначальной ($x$). Конечная цена составляет 104% от первоначальной ($1.04 \cdot 100\% = 104\%$).

Чтобы найти, на сколько процентов изменилась цена, вычтем из итоговых процентов первоначальные 100%:

$104\% - 100\% = 4\%$

Поскольку результат положительный, цена увеличилась.

Ответ: первоначальная цена увеличилась на 4%.

91. Вкладчик положил в банк 120 000 р. на два разных счёта. По первому из них банк выплачивает $5\%$ годовых, а по второму $-7\%$ годовых. Через год вкладчик получил по $5\%$-му вкладу на 2400 р. процентных денег больше, чем по второму. Сколько рублей он положил на каждый счёт?

Пусть $x$ — сумма в рублях, положенная на первый счёт под 5% годовых, а $y$ — сумма в рублях, положенная на второй счёт под 7% годовых.

Общая сумма вклада составляет 120 000 рублей. Составим первое уравнение:
$x + y = 120000$

Процентный доход за год по первому счёту равен $0.05x$ рублей. Процентный доход по второму счёту равен $0.07y$ рублей.

По условию, доход по первому вкладу на 2400 рублей больше, чем по второму. Составим второе уравнение:
$0.05x = 0.07y + 2400$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x + y = 120000 \\ 0.05x - 0.07y = 2400 \end{cases}$

Для решения системы выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 120000 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$0.05x - 0.07(120000 - x) = 2400$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$0.05x - 0.07 \cdot 120000 + 0.07x = 2400$
$0.05x - 8400 + 0.07x = 2400$
$0.12x = 2400 + 8400$
$0.12x = 10800$
$x = \frac{10800}{0.12} = \frac{1080000}{12} = 90000$

Итак, на первый счёт (под 5%) было вложено 90 000 рублей.

Теперь найдём сумму, вложенную на второй счёт:
$y = 120000 - x = 120000 - 90000 = 30000$

На второй счёт (под 7%) было вложено 30 000 рублей.

Проверка:
Доход по первому счёту: $0.05 \cdot 90000 = 4500$ рублей.
Доход по второму счёту: $0.07 \cdot 30000 = 2100$ рублей.
Разница в доходах: $4500 - 2100 = 2400$ рублей. Это соответствует условию задачи.

Ответ: на первый счёт вкладчик положил 90 000 рублей, а на второй — 30 000 рублей.

92. Смешали $50\%$-й и $20\%$-й растворы кислоты и получили $600$ г $30\%$-го раствора. Сколько граммов каждого раствора смешали?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — масса 50%-го раствора кислоты в граммах, а $y$ — масса 20%-го раствора кислоты в граммах.

Исходя из условия, что общая масса смеси составляет 600 г, мы можем составить первое уравнение:
$x + y = 600$

Второе уравнение составим, основываясь на массе чистой кислоты. Масса кислоты в первом растворе составляет $0.5x$, во втором — $0.2y$. В итоговом 600-граммовом растворе с 30%-й концентрацией содержится $600 \times 0.3 = 180$ г кислоты. Сумма массы кислоты в исходных растворах равна массе кислоты в конечном, поэтому:
$0.5x + 0.2y = 180$

Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 600 \\ 0.5x + 0.2y = 180 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 600 - x$
Подставим это выражение во второе уравнение и решим его:
$0.5x + 0.2(600 - x) = 180$
$0.5x + 120 - 0.2x = 180$
$0.3x = 180 - 120$
$0.3x = 60$
$x = \frac{60}{0.3} = 200$
Таким образом, масса 50%-го раствора составляет 200 г.

Теперь найдем массу 20%-го раствора, подставив найденное значение $x$:
$y = 600 - 200 = 400$
Масса 20%-го раствора составляет 400 г.

Проверка:
Общая масса: $200 \text{ г} + 400 \text{ г} = 600 \text{ г}$.
Общая масса кислоты: $0.5 \times 200 \text{ г} + 0.2 \times 400 \text{ г} = 100 \text{ г} + 80 \text{ г} = 180 \text{ г}$.
Концентрация итогового раствора: $\frac{180 \text{ г}}{600 \text{ г}} \times 100\% = 0.3 \times 100\% = 30\%$.
Решение верное.

Ответ: смешали 200 г 50%-го раствора и 400 г 20%-го раствора.

93. Сколько килограммов $30\%$-го и сколько килограммов $40\%$-го сплавов меди надо взять, чтобы получить $50$ кг $36\%$-го сплава?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это масса (в кг) 30%-го сплава меди, а $y$ — масса (в кг) 40%-го сплава меди.

Согласно условию, общая масса итогового сплава составляет 50 кг. Это означает, что сумма масс двух исходных сплавов равна 50 кг. Составим первое уравнение: $$x + y = 50$$

Далее, рассмотрим количество чистой меди в каждом сплаве. В первом сплаве масса меди составляет $30\%$ от его общей массы, то есть $0.3x$ кг. Во втором сплаве масса меди составляет $40\%$ от его массы, то есть $0.4y$ кг.

В конечном сплаве массой 50 кг содержание меди составляет $36\%$. Значит, масса чистой меди в нем равна: $$50 \times 0.36 = 18 \text{ кг}$$

Масса меди в итоговом сплаве равна сумме масс меди в исходных сплавах. Это дает нам второе уравнение: $$0.3x + 0.4y = 18$$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 50 \\ 0.3x + 0.4y = 18 \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$: $$x = 50 - y$$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение: $$0.3(50 - y) + 0.4y = 18$$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$: $$15 - 0.3y + 0.4y = 18$$ $$0.1y = 18 - 15$$ $$0.1y = 3$$ $$y = \frac{3}{0.1} = 30$$

Следовательно, для получения нужного сплава требуется 30 кг 40%-го сплава.

Теперь найдем массу 30%-го сплава, подставив значение $y=30$ в выражение для $x$: $$x = 50 - 30 = 20$$

Значит, требуется 20 кг 30%-го сплава.

Ответ: необходимо взять 20 кг 30%-го сплава и 30 кг 40%-го сплава.

94. За первый день турист прошёл 16 км, что составляет 40% длины туристического маршрута. Найдите длину этого маршрута.

Пусть $x$ км — это полная длина туристического маршрута. По условию задачи, 16 км составляют 40% от этой длины. Чтобы найти полную длину маршрута (которая соответствует 100%), можно составить пропорцию.

Соотнесем известные и неизвестные величины:
16 км — это 40%
$x$ км — это 100%

На основе этого соотношения составим пропорциональное равенство:
$\frac{16}{40} = \frac{x}{100}$

Теперь выразим из этого уравнения неизвестную переменную $x$:
$x = \frac{16 \times 100}{40}$

Выполним вычисления:
$x = \frac{1600}{40}$
$x = 40$

Таким образом, полная длина туристического маршрута составляет 40 км.

Ответ: 40 км.

95. Руда содержит 70% железа. Сколько надо взять руды, чтобы получить 84 т железа?

Пусть $x$ — это искомая масса руды в тоннах. Эта общая масса составляет $100\%$.

Известно, что руда содержит $70\%$ железа. Это означает, что для получения $84$ тонн чистого железа, эти $84$ тонны должны составлять $70\%$ от общей массы руды.

Для нахождения общей массы руды ($x$) можно составить пропорцию:

$x$ т руды — $100\%$
$84$ т железа — $70\%$

Из пропорции следует соотношение: $\frac{x}{84} = \frac{100}{70}$

Выразим $x$, чтобы найти общую массу руды: $x = 84 \cdot \frac{100}{70}$

Проведем вычисления: $x = \frac{84 \cdot 100}{70} = \frac{8400}{70} = \frac{840}{7} = 120$

Таким образом, для получения $84$ тонн железа необходимо взять $120$ тонн руды.

Ответ: чтобы получить 84 т железа, надо взять 120 т руды.