Страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

111. Некоторая выборка состоит из 30 чисел, среди которых число 7 встречается 12 раз, число 9 встречается 8 раз и число 15 встречается 10 раз. Найдите среднее значение данной выборки.

Среднее значение выборки (или среднее арифметическое) — это сумма всех чисел в выборке, делённая на их количество.

По условию, выборка состоит из 30 чисел. Данные о составе выборки:

- число 7 встречается 12 раз;
- число 9 встречается 8 раз;
- число 15 встречается 10 раз.

Общее количество чисел в выборке равно сумме частот: $12 + 8 + 10 = 30$, что совпадает с условием задачи.

1. Вычисление суммы всех чисел выборки.
Для этого необходимо каждое значение умножить на его частоту и сложить полученные произведения.

Сумма = $(7 \times 12) + (9 \times 8) + (15 \times 10)$

Сумма = $84 + 72 + 150 = 306$

2. Вычисление среднего значения.
Разделим сумму всех чисел на их общее количество (30).

Среднее значение = $\frac{\text{Сумма всех чисел}}{\text{Количество чисел}} = \frac{306}{30}$

$\frac{306}{30} = 10,2$

Ответ: 10,2.

112. На графике, изображённом на рисунке 2, отражены объёмы продажи ручек в магазине канцтоваров в течение 6 месяцев. Сколько в среднем продавали ручек за один месяц?

Рис. 2

Количество проданных ручек, шт.

Июль: 150

Август: 300

Сентябрь: 270

Октябрь: 210

Ноябрь: 180

Декабрь: 210

Чтобы найти, сколько в среднем продавали ручек за один месяц, необходимо определить по графику количество проданных ручек в каждый из шести месяцев, найти их общую сумму, а затем разделить на количество месяцев.

Сначала определим количество проданных ручек для каждого месяца по точкам на графике:

• Июль: 150 штук
• Август: 300 штук
• Сентябрь: 270 штук
• Октябрь: 210 штук
• Ноябрь: 180 штук
• Декабрь: 210 штук

Далее, найдем общее количество ручек, проданных за 6 месяцев, сложив все эти значения:

$150 + 300 + 270 + 210 + 180 + 210 = 1320$ штук.

Теперь, чтобы найти среднее количество, разделим общее число проданных ручек на количество месяцев (6):

$ \frac{1320}{6} = 220 $ штук.

Следовательно, в среднем в магазине продавали 220 ручек за один месяц.

Ответ: 220.

113. Среднее значение выборки 7, 10, $y$, 14 равно 11. Чему равен $y$?

Среднее значение выборки (также известное как среднее арифметическое) вычисляется как сумма всех элементов выборки, деленная на их количество.

В данной задаче нам дана выборка из четырех элементов: 7, 10, $y$, 14. Количество элементов равно 4. Среднее значение этой выборки равно 11.

Используя формулу для среднего значения, мы можем составить уравнение: $ \frac{7 + 10 + y + 14}{4} = 11 $

Для решения этого уравнения сначала сложим известные числа в числителе дроби: $ 7 + 10 + 14 = 31 $

Теперь наше уравнение принимает вид: $ \frac{31 + y}{4} = 11 $

Чтобы найти выражение в числителе ($31 + y$), умножим обе части уравнения на 4: $ 31 + y = 11 \cdot 4 $ $ 31 + y = 44 $

Наконец, чтобы найти значение $y$, вычтем 31 из 44: $ y = 44 - 31 $ $ y = 13 $

Ответ: 13

114. Средний рост 10 баскетболистов равен 195 см, а средний рост семи из них – 192 см. Какой средний рост остальных трёх баскетболистов?

Чтобы найти средний рост остальных трёх баскетболистов, сначала определим суммарный рост всех десяти игроков. Для этого умножим их средний рост на их количество:
$195 \text{ см} \times 10 = 1950 \text{ см}$.

Далее, вычислим суммарный рост семи баскетболистов, для которых известен средний рост:
$192 \text{ см} \times 7 = 1344 \text{ см}$.

Теперь мы можем найти суммарный рост оставшихся трёх игроков ($10 - 7 = 3$). Для этого вычтем из общего суммарного роста суммарный рост семи игроков:
$1950 \text{ см} - 1344 \text{ см} = 606 \text{ см}$.

Наконец, чтобы найти средний рост этих трёх баскетболистов, разделим их суммарный рост на их количество:
$606 \text{ см} \div 3 = 202 \text{ см}$.

Ответ: 202 см.

115. Найдите среднее значение, моду, медиану и размах совокупности данных:

1) 5, 6, 9, 10, 11, 13, 14, 14, 15, 22;

2) 5, 12, 12, 12, 14, 14, 8, 12.

Рис. 3

1) Дана совокупность данных: 5, 6, 9, 10, 11, 13, 14, 14, 15, 22.

Эта совокупность состоит из 10 элементов и уже упорядочена по возрастанию.

• Среднее значение — это сумма всех чисел, деленная на их количество.

  Сумма: $5 + 6 + 9 + 10 + 11 + 13 + 14 + 14 + 15 + 22 = 119$.

  Среднее значение: $\frac{119}{10} = 11.9$.

• Мода — это значение, которое встречается в совокупности чаще всего.

  Число 14 встречается два раза, все остальные — по одному. Значит, мода равна 14.

• Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченной совокупности. Поскольку у нас четное число элементов (10), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов (пятого и шестого).

  Пятый элемент — 11, шестой — 13.

  Медиана: $\frac{11 + 13}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

• Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями совокупности.

  Размах: $22 - 5 = 17$.

Ответ: среднее значение — 11,9; мода — 14; медиана — 12; размах — 17.

2) Дана совокупность данных: 5, 12, 12, 14, 14, 8, 12.

Сначала упорядочим эту совокупность по возрастанию: 5, 8, 12, 12, 12, 14, 14.

В совокупности 7 элементов.

• Среднее значение:

  Сумма: $5 + 8 + 12 + 12 + 12 + 14 + 14 = 77$.

  Среднее значение: $\frac{77}{7} = 11$.

• Мода:

  Число 12 встречается три раза, что чаще любого другого числа в совокупности. Значит, мода равна 12.

• Медиана:

  Поскольку у нас нечетное число элементов (7), медиана — это центральный (четвертый) элемент упорядоченной совокупности.

  Медиана равна 12.

• Размах:

  Размах: $14 - 5 = 9$.

Ответ: среднее значение — 11; мода — 12; медиана — 12; размах — 9.

116. На рисунке 3 изображена диаграмма, отображающая распределение деревьев, растущих в парке. Какие из данных утверждений верны:

1) дубов в парке больше, чем тополей;

2) тополя составляют менее $50\%$ всех деревьев;

3) клёнов и ив растёт больше, чем дубов;

4) дубы составляют более $25\%$ всех деревьев;

5) тополя и ивы составляют менее половины всех деревьев?

Рис. 3

Тополя

Дубы

Клёны

Ивы

1) дубов в парке больше, чем тополей;
Анализируя круговую диаграмму, мы сравниваем площади секторов, соответствующих разным видам деревьев. Площадь сектора пропорциональна количеству деревьев данного вида. Визуально сектор «Тополя» больше сектора «Дубы». Это означает, что количество тополей в парке превышает количество дубов. Таким образом, данное утверждение неверно.
Ответ: неверно.

2) тополя составляют менее 50% всех деревьев;
50% от общего числа деревьев на диаграмме соответствуют половине круга (сектор с центральным углом $180^\circ$). Сектор, представляющий тополя, является самым большим, но он очевидно занимает меньше половины всей площади круга. Следовательно, тополя составляют менее 50% всех деревьев.
Ответ: верно.

3) клёнов и ив растёт больше, чем дубов;
Для проверки этого утверждения нужно сравнить суммарную площадь секторов «Клёны» и «Ивы» с площадью сектора «Дубы». Сектор «Дубы» — один из двух крупнейших на диаграмме. Секторы «Клёны» и «Ивы» — два самых маленьких. Даже если сложить их площади, их общая площадь визуально остаётся меньше площади сектора «Дубы». Значит, клёнов и ив вместе взятых меньше, чем дубов.
Ответ: неверно.

4) дубы составляют более 25% всех деревьев;
25% от общего числа деревьев на диаграмме соответствуют четверти круга (сектор с центральным углом $90^\circ$). Сектор «Дубы» визуально больше, чем четверть круга, так как его центральный угол превышает $90^\circ$. Это означает, что дубы составляют более 25% от всех деревьев в парке.
Ответ: верно.

5) тополя и ивы составляют менее половины всех деревьев?
Половина всех деревьев — это 50%. Чтобы определить, составляют ли тополя и ивы вместе менее половины, рассмотрим долю остальных деревьев — дубов и клёнов. Визуально, суммарный сектор тополей и ив занимает больше половины круга. Если мы посмотрим на секторы «Дубы» и «Клёны», их сумма явно меньше половины круга. Следовательно, сумма «Тополя» и «Ивы» должна быть больше половины ($100\% - (\text{Дубы} + \text{Клёны}) > 50\%$). Таким образом, утверждение о том, что они составляют менее половины, неверно.
Ответ: неверно.