Страница 214 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

51. Один тракторист может вспахать поле за 12 ч, а другой – за 8 ч. Какую часть поля вспашут они, работая вместе, за 3 ч?

Чтобы найти, какую часть поля вспашут два тракториста, работая вместе, нужно сначала определить производительность каждого из них, затем их общую производительность, и после этого умножить её на заданное время.

1. Определим производительность каждого тракториста. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час). Всю работу (целое поле) примем за 1.

• Первый тракторист вспахивает поле за 12 часов, значит, его производительность составляет $ \frac{1}{12} $ поля в час.

• Второй тракторист вспахивает поле за 8 часов, его производительность — $ \frac{1}{8} $ поля в час.

2. Найдем их общую производительность при совместной работе, сложив их индивидуальные производительности:

$ \frac{1}{12} + \frac{1}{8} $

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 12 и 8 — это 24.

$ \frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{1 \times 2}{24} + \frac{1 \times 3}{24} = \frac{2}{24} + \frac{3}{24} = \frac{5}{24} $

Таким образом, работая вместе, за 1 час они вспашут $ \frac{5}{24} $ поля.

3. Теперь вычислим, какую часть поля они вспашут вместе за 3 часа. Для этого умножим их общую производительность на время:

$ \frac{5}{24} \times 3 = \frac{5 \times 3}{24} = \frac{15}{24} $

4. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 15 и 24 равен 3.

$ \frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8} $

Ответ: Работая вместе, за 3 часа трактористы вспашут $ \frac{5}{8} $ поля.

52. Бассейн можно наполнить водой за 10 ч через одну трубу и опорожнить за 15 ч через другую. Какая часть бассейна останется незаполненной водой через 3 ч после того, как открыли краны на обеих трубах?

Для решения задачи примем весь объем бассейна за 1 (единицу).

1. Определим производительность каждой трубы.
Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени.
Первая труба наполняет бассейн за 10 часов, следовательно, ее производительность составляет $ \frac{1}{10} $ бассейна в час.
Вторая труба опорожняет бассейн за 15 часов, ее производительность — $ \frac{1}{15} $ бассейна в час.

2. Найдем общую скорость наполнения бассейна.
Когда обе трубы открыты одновременно, одна наполняет бассейн, а другая его опустошает. Чтобы найти результирующую скорость наполнения, нужно из скорости наполнения вычесть скорость опорожнения:
$ V_{общая} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} $
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$ \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{3}{30} - \frac{2}{30} = \frac{1}{30} $
Таким образом, при совместной работе двух труб за час бассейн будет наполняться на $ \frac{1}{30} $ часть.

3. Вычислим, какая часть бассейна наполнится за 3 часа.
Для этого умножим общую скорость наполнения на время работы:
$ \frac{1}{30} \cdot 3 = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} $
За 3 часа совместной работы будет заполнена $ \frac{1}{10} $ часть бассейна.

4. Найдем незаполненную часть бассейна.
Если весь бассейн — это 1, а заполнена $ \frac{1}{10} $ его часть, то незаполненной останется:
$ 1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} $
Ответ: незаполненной останется $ \frac{9}{10} $ часть бассейна.

53. Одна швея может выполнить некоторый заказ за 2 ч, а другая – за 3 ч. Хватит ли им 1 ч, чтобы, работая вместе, выполнить заказ?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо определить, какую часть заказа выполнят обе швеи, работая вместе, за 1 час. Весь заказ примем за 1 (одну целую).

1. Сначала найдем производительность каждой швеи. Производительность — это часть работы, выполняемая за 1 час.

• Первая швея выполняет весь заказ за 2 часа, значит, ее производительность составляет $\frac{1}{2}$ заказа в час.
• Вторая швея выполняет весь заказ за 3 часа, ее производительность — $\frac{1}{3}$ заказа в час.

2. Теперь найдем их совместную производительность. Для этого сложим их индивидуальные производительности:

Совместная производительность = $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 6:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

Таким образом, работая вместе, за 1 час швеи выполнят $\frac{5}{6}$ часть всего заказа.

3. Сравним выполненную за 1 час работу с полным заказом. Полный заказ — это 1, или $\frac{6}{6}$.

$\frac{5}{6} < \frac{6}{6}$

Поскольку за 1 час будет выполнено только $\frac{5}{6}$ заказа, что меньше единицы (всего заказа), одного часа им не хватит.

Ответ: нет, одного часа не хватит. За 1 час совместной работы они выполнят только $\frac{5}{6}$ заказа, что меньше всего заказа.

54. В магазин завезли 540 кг фруктов, из них $\frac{4}{9}$ составляли яблоки, а остальное – груши. Сколько килограммов груш завезли в магазин?

Для решения этой задачи можно воспользоваться двумя способами.

Способ 1

1. Сначала вычислим массу яблок, которая составляет $\frac{4}{9}$ от общего количества фруктов. Для этого умножим общую массу фруктов на эту дробь:

$540 \cdot \frac{4}{9} = \frac{540 \cdot 4}{9} = 60 \cdot 4 = 240$ (кг) — масса яблок.

2. Теперь найдем массу груш. Так как остальные фрукты — это груши, нужно из общей массы фруктов вычесть массу яблок:

$540 - 240 = 300$ (кг) — масса груш.

Ответ: в магазин завезли 300 кг груш.

Способ 2

1. Сначала определим, какую часть от всех фруктов составляют груши. Если все фрукты принять за целое (1), а яблоки составляют $\frac{4}{9}$, то доля груш будет равна:

$1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

2. Теперь, зная, что груши составляют $\frac{5}{9}$ от общего веса, вычислим их массу в килограммах, умножив общую массу на эту долю:

$540 \cdot \frac{5}{9} = \frac{540 \cdot 5}{9} = 60 \cdot 5 = 300$ (кг) — масса груш.

Ответ: в магазин завезли 300 кг груш.

55. За три дня проложили 105 м кабеля. За первый день проложили $\frac{3}{7}$ кабеля, а за второй $\frac{7}{12}$ оставшегося. Сколько метров кабеля проложили за третий день?

Для решения этой задачи необходимо последовательно рассчитать, сколько метров кабеля прокладывали каждый день.

1. Рассчитаем, сколько метров кабеля проложили в первый день.
В первый день проложили $ \frac{3}{7} $ от общей длины кабеля, которая составляет 105 метров.
$105 \cdot \frac{3}{7} = \frac{105 \cdot 3}{7} = 15 \cdot 3 = 45$ м.

2. Рассчитаем, сколько метров кабеля осталось проложить после первого дня.
Для этого из общей длины вычтем длину кабеля, проложенного в первый день.
$105 - 45 = 60$ м.

3. Рассчитаем, сколько метров кабеля проложили во второй день.
Во второй день проложили $ \frac{7}{12} $ от оставшейся после первого дня части.
$60 \cdot \frac{7}{12} = \frac{60 \cdot 7}{12} = 5 \cdot 7 = 35$ м.

4. Рассчитаем, сколько метров кабеля проложили в третий день.
Работа была рассчитана на три дня, поэтому в третий день проложили весь остаток кабеля. Чтобы его найти, нужно из остатка после первого дня (60 м) вычесть то, что проложили во второй день (35 м).
$60 - 35 = 25$ м.

Ответ: за третий день проложили 25 метров кабеля.

56. Учебники составляют $\frac{1}{4}$ всех книг школьной библиотеки, а учебники по математике – $\frac{8}{25}$ всех учебников. Какую часть всех книг библиотеки составляют учебники по математике?

56.

Для решения этой задачи нам нужно найти, какую долю от общего числа книг в библиотеке составляют учебники по математике. Мы знаем долю всех учебников от общего числа книг и долю учебников по математике от общего числа учебников.

1. Доля всех учебников от общего числа книг в библиотеке составляет $\frac{1}{4}$.

2. Доля учебников по математике от общего числа учебников составляет $\frac{8}{25}$.

Чтобы найти, какую часть от общего числа книг в библиотеке составляют учебники по математике, необходимо найти часть от части, то есть умножить одну дробь на другую.

Вычислим произведение этих дробей:

$\frac{1}{4} \times \frac{8}{25} = \frac{1 \times 8}{4 \times 25}$

Мы можем сократить 8 в числителе и 4 в знаменателе на 4:

$\frac{1 \times (8 \div 4)}{(4 \div 4) \times 25} = \frac{1 \times 2}{1 \times 25} = \frac{2}{25}$

Или можно сначала перемножить, а потом сократить:

$\frac{1 \times 8}{4 \times 25} = \frac{8}{100}$

Теперь сократим дробь $\frac{8}{100}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$\frac{8 \div 4}{100 \div 4} = \frac{2}{25}$

Следовательно, учебники по математике составляют $\frac{2}{25}$ всех книг в библиотеке.

Ответ: $\frac{2}{25}$.

57. Известно, что $\frac{1}{3}$ одного положительного числа равна $\frac{1}{4}$ другого положительного числа. Какое из этих чисел больше?

Для решения этой задачи обозначим два положительных числа переменными. Пусть первое число — это $x$, а второе число — это $y$. Оба числа по условию положительные, то есть $x > 0$ и $y > 0$.

Из условия известно, что одна треть первого числа равна одной четвертой второго числа. Запишем это в виде математического равенства:

$\frac{1}{3}x = \frac{1}{4}y$

Наша цель — сравнить числа $x$ и $y$. Для этого выразим одно из них через другое. Например, выразим $x$ через $y$. Для этого умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot \frac{1}{3}x = 3 \cdot \frac{1}{4}y$

$x = \frac{3}{4}y$

Мы получили, что $x$ составляет $\frac{3}{4}$ от $y$. Так как дробь $\frac{3}{4}$ меньше единицы, а $y$ — положительное число, то $x$ будет меньше, чем $y$.

$x < y$

Аналогично, можно было выразить $y$ через $x$, умножив исходное уравнение на 4:

$4 \cdot \frac{1}{3}x = 4 \cdot \frac{1}{4}y$

$\frac{4}{3}x = y$

Так как коэффициент $\frac{4}{3}$ больше единицы, то $y$ больше, чем $x$.

Таким образом, второе число (от которого брали $\frac{1}{4}$) больше первого (от которого брали $\frac{1}{3}$).

Ответ: больше то число, от которого взята меньшая доля, то есть второе число (которого $\frac{1}{4}$ равна $\frac{1}{3}$ первого).

58. Требуется расфасовать $27\frac{1}{2}$ кг сахара в пакеты по $\frac{3}{4}$ кг каждый.

Сколько получится полных пакетов?

Чтобы определить, сколько полных пакетов получится, нужно общую массу сахара разделить на вместимость одного пакета.

1. Представим общее количество сахара в виде неправильной дроби. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель:

$27\frac{1}{2} = \frac{27 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{54 + 1}{2} = \frac{55}{2}$ кг

2. Теперь разделим общее количество сахара на массу одного пакета. Вместимость одного пакета составляет $\frac{3}{4}$ кг.

$\frac{55}{2} \div \frac{3}{4}$

3. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь (перевернутую):

$\frac{55}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{55 \times 4}{2 \times 3}$

4. Выполним умножение и сократим дробь:

$\frac{220}{6} = \frac{110}{3}$

5. Чтобы узнать количество полных пакетов, выделим целую часть из полученной неправильной дроби:

$110 \div 3 = 36$ с остатком 2. Таким образом, $\frac{110}{3} = 36\frac{2}{3}$.

Результат $36\frac{2}{3}$ означает, что можно полностью заполнить 36 пакетов, и еще останется $\frac{2}{3}$ от порции сахара для одного пакета. Так как в вопросе спрашивается о количестве полных пакетов, мы берем только целую часть полученного числа.

Ответ: 36

59. Сколько банок ёмкостью 0,8 л требуется, чтобы разлить в них 4 л мёда?

Чтобы определить, сколько банок потребуется, необходимо общий объем мёда разделить на емкость одной банки.

Общий объем мёда: 4 л.

Емкость одной банки: 0,3 л.

Выполним деление общего объема на емкость одной банки, чтобы найти требуемое количество банок ($N$):

$N = 4 \div 0,3 = \frac{4}{0,3}$

Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$N = \frac{4 \times 10}{0,3 \times 10} = \frac{40}{3}$

Теперь разделим 40 на 3, чтобы найти точное количество:

$N = 13\frac{1}{3}$

Поскольку количество банок должно быть целым числом, а 13 банок будет недостаточно, чтобы разлить весь мёд (в них поместится только $13 \times 0,3 = 3,9$ л), необходимо округлить полученное число в большую сторону до ближайшего целого. Это связано с тем, что для оставшейся части мёда ($4 - 3,9 = 0,1$ л) потребуется еще одна банка.

Таким образом, чтобы разлить все 4 литра мёда, потребуется 14 банок.

Ответ: 14 банок.

60. Один маляр может отремонтировать кабинет математики за 48 ч, а другой маляр – за 96 ч. За сколько часов, работая вместе, они отремонтируют этот кабинет?

Для решения задачи необходимо определить производительность каждого маляра и их общую производительность при совместной работе. Примем всю работу по ремонту кабинета за 1 (единицу).

1. Найдем производительность первого маляра. Он выполняет всю работу за 48 часов, значит, его производительность составляет $v_1 = \frac{1}{48}$ часть работы в час.

2. Найдем производительность второго маляра. Он выполняет всю работу за 96 часов, значит, его производительность составляет $v_2 = \frac{1}{96}$ часть работы в час.

3. Найдем общую производительность маляров при совместной работе. Для этого сложим их производительности:

$v_{общ} = v_1 + v_2 = \frac{1}{48} + \frac{1}{96}$

Приведем дроби к общему знаменателю 96:

$\frac{1}{48} + \frac{1}{96} = \frac{2}{96} + \frac{1}{96} = \frac{3}{96}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{3}{96} = \frac{1}{32}$

Таким образом, общая производительность составляет $\frac{1}{32}$ часть работы в час. Это означает, что за один час совместной работы маляры отремонтируют $\frac{1}{32}$ часть кабинета.

4. Чтобы найти время, за которое будет выполнена вся работа, нужно всю работу (1) разделить на общую производительность ($\frac{1}{32}$):

$t = \frac{1}{v_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{32}} = 1 \cdot 32 = 32$ часа.

Ответ: 32 часа.

61. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за 6 ч. Один из них, работая самостоятельно, может выполнить эту работу за 10 ч. За сколько часов её может выполнить самостоятельно другой рабочий?

Для решения задачи примем весь объем работы за 1 (единицу). Производительность труда — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час).

1. Определим совместную производительность двух рабочих. Работая вместе, они выполняют всю работу за 6 часов. Следовательно, их совместная производительность $P_{совм}$ составляет:

$P_{совм} = \frac{1}{6}$ (часть работы в час)

2. Определим производительность первого рабочего. По условию, он один может выполнить всю работу за 10 часов. Его производительность $P_1$ равна:

$P_1 = \frac{1}{10}$ (часть работы в час)

3. Найдем производительность второго рабочего $P_2$. Совместная производительность является суммой производительностей каждого рабочего: $P_{совм} = P_1 + P_2$. Выразим отсюда $P_2$:

$P_2 = P_{совм} - P_1$

Подставим известные значения:

$P_2 = \frac{1}{6} - \frac{1}{10}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 10 — это 30.

$P_2 = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ (часть работы в час)

Итак, производительность второго рабочего составляет $\frac{1}{15}$ всей работы в час.

4. Найдем время $t_2$, за которое второй рабочий выполнит всю работу самостоятельно. Время находится как отношение всего объема работы (1) к производительности рабочего:

$t_2 = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{\frac{1}{15}} = 15$ часов.

Ответ: другой рабочий может выполнить эту работу самостоятельно за 15 часов.

62. Пассажирский поезд проходит расстояние между двумя городами за 6 ч. Если одновременно из этих городов выйдут навстречу друг другу пассажирский и товарный поезда, то они встретятся через 3 ч 20 мин после начала движения. За какое время товарный поезд проходит расстояние между городами?

Для решения этой задачи примем все расстояние между городами за 1 (одну целую) условную единицу.

1. Найдем скорость пассажирского поезда. Скорость в данном случае — это часть расстояния, которую поезд проходит за 1 час. Если весь путь (1) он проходит за 6 часов, то его скорость равна:

$v_п = \frac{1}{6}$ (расстояния/час)

2. Поезда вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 часа 20 минут. Переведем это время в часы для удобства расчетов:

$t_{встр} = 3 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 3 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{10}{3}$ часа

3. Когда поезда движутся навстречу друг другу, их общая скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей. За время $t_{встр}$ они вместе преодолели все расстояние (1). Значит, их скорость сближения равна:

$v_{сбл} = \frac{1}{t_{встр}} = \frac{1}{\frac{10}{3}} = \frac{3}{10}$ (расстояния/час)

4. Скорость сближения — это сумма скоростей пассажирского ($v_п$) и товарного ($v_т$) поездов:

$v_{сбл} = v_п + v_т$

Отсюда мы можем найти скорость товарного поезда:

$v_т = v_{сбл} - v_п = \frac{3}{10} - \frac{1}{6}$

5. Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$v_т = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{9}{30} - \frac{5}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$ (расстояния/час)

6. Теперь, зная скорость товарного поезда ($v_т = \frac{2}{15}$ расстояния в час), мы можем найти время $t_т$, за которое он пройдет все расстояние (1):

$t_т = \frac{1}{v_т} = \frac{1}{\frac{2}{15}} = \frac{15}{2} = 7.5$ часа

7. Переведем 7.5 часа в часы и минуты:

$7.5 \text{ часа} = 7 \text{ часов и } 0.5 \text{ часа} = 7 \text{ часов и } (0.5 \cdot 60) \text{ минут} = 7 \text{ часов } 30 \text{ минут}$.

Ответ: Товарный поезд проходит расстояние между городами за 7 часов 30 минут.

63. Одна бригада может выполнить заказ за 8 дней, а другая — за 12 дней. Сначала первая бригада работала 2 дня, а затем её сменила вторая. За сколько дней был выполнен заказ?

Примем весь объем работы по выполнению заказа за 1 (единицу).

1. Определим производительность (скорость работы) каждой бригады. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 день).

• Производительность первой бригады: так как она выполняет весь заказ за 8 дней, ее производительность равна $\frac{1}{8}$ заказа в день.
• Производительность второй бригады: так как она выполняет весь заказ за 12 дней, ее производительность равна $\frac{1}{12}$ заказа в день.

2. Рассчитаем, какую часть заказа выполнила первая бригада за 2 дня. Для этого умножим ее производительность на время работы:

$2 \text{ дня} \cdot \frac{1}{8} \frac{\text{заказа}}{\text{день}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ заказа.

3. Найдем, какая часть заказа осталась невыполненной. Для этого вычтем из всего объема работы выполненную часть:

$1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ заказа.

4. Эту оставшуюся часть работы ($\frac{3}{4}$) должна выполнить вторая бригада. Чтобы найти, сколько дней ей для этого потребуется, разделим оставшийся объем работы на производительность второй бригады:

$\frac{3}{4} : \frac{1}{12} = \frac{3}{4} \cdot \frac{12}{1} = \frac{3 \cdot 12}{4} = 3 \cdot 3 = 9$ дней.

5. Чтобы найти общее время выполнения заказа, сложим время работы первой и второй бригад:

$2 \text{ дня} + 9 \text{ дней} = 11 \text{ дней}$.

Ответ: 11 дней.