Страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

29. Расположите в порядке убывания числа:

1) $\$ \frac{7}{10}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{13}{15};$

2) $\$ \frac{11}{16}, \frac{5}{8}, \frac{7}{24}, \frac{5}{12}.$

1) Чтобы расположить дроби $\frac{7}{10}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{13}{15}$ в порядке убывания, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменателями данных дробей являются числа 10, 3, 2, 15. Найдем их наименьшее общее кратное (НОК).

Разложим знаменатели на простые множители:
$10 = 2 \cdot 5$
$3 = 3$
$2 = 2$
$15 = 3 \cdot 5$
НОК(10, 3, 2, 15) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 30, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:
$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{20}{30}$
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 15}{2 \cdot 15} = \frac{15}{30}$
$\frac{13}{15} = \frac{13 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{26}{30}$

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем сравнить их, сравнивая их числители. Расположим числители в порядке убывания: $26 > 21 > 20 > 15$.

Это соответствует следующему порядку дробей:
$\frac{26}{30} > \frac{21}{30} > \frac{20}{30} > \frac{15}{30}$

Теперь заменим эти дроби на исходные:
$\frac{13}{15} > \frac{7}{10} > \frac{2}{3} > \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{13}{15}, \frac{7}{10}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$.

2) Чтобы расположить дроби $\frac{11}{16}, \frac{5}{8}, \frac{7}{24}, \frac{5}{12}$ в порядке убывания, также приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: 16, 8, 24, 12. Найдем НОК этих чисел.

Разложим знаменатели на простые множители:
$16 = 2^4$
$8 = 2^3$
$24 = 2^3 \cdot 3$
$12 = 2^2 \cdot 3$
НОК(16, 8, 24, 12) = $2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$.

Приведем каждую дробь к знаменателю 48:
$\frac{11}{16} = \frac{11 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{33}{48}$
$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 6}{8 \cdot 6} = \frac{30}{48}$
$\frac{7}{24} = \frac{7 \cdot 2}{24 \cdot 2} = \frac{14}{48}$
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{20}{48}$

Сравним числители полученных дробей и расположим их в порядке убывания: $33 > 30 > 20 > 14$.

Соответствующий порядок дробей:
$\frac{33}{48} > \frac{30}{48} > \frac{20}{48} > \frac{14}{48}$

Заменим их на исходные дроби:
$\frac{11}{16} > \frac{5}{8} > \frac{5}{12} > \frac{7}{24}$

Ответ: $\frac{11}{16}, \frac{5}{8}, \frac{5}{12}, \frac{7}{24}$.

30. Найдите все натуральные значения c, при которых верно неравенство:

1) $ \frac{6}{11} < \frac{c}{11} < 1; $

2) $ \frac{2}{9} < \frac{c}{18} < \frac{5}{6}. $

1)

Дано неравенство $\frac{6}{11} < \frac{c}{11} < 1$. Для решения этого неравенства представим число 1 в виде дроби со знаменателем 11: $1 = \frac{11}{11}$. Неравенство примет вид: $\frac{6}{11} < \frac{c}{11} < \frac{11}{11}$ Поскольку все дроби в неравенстве имеют одинаковый положительный знаменатель, мы можем сравнить их числители, сохранив знаки неравенства: $6 < c < 11$ Согласно условию, $c$ должно быть натуральным числом. Натуральные числа, которые строго больше 6 и строго меньше 11, это: 7, 8, 9, 10.

Ответ: 7, 8, 9, 10.

2)

Дано неравенство $\frac{2}{9} < \frac{c}{18} < \frac{5}{6}$. Для решения этого неравенства приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 9, 18 и 6 равно 18. Приведем дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{5}{6}$ к знаменателю 18: $\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{4}{18}$ $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18}$ Теперь подставим полученные дроби в исходное неравенство: $\frac{4}{18} < \frac{c}{18} < \frac{15}{18}$ Так как все дроби имеют одинаковый положительный знаменатель, мы можем перейти к неравенству для их числителей: $4 < c < 15$ Согласно условию, $c$ должно быть натуральным числом. Натуральные числа, которые строго больше 4 и строго меньше 15, это: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Ответ: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

31. Найдите все натуральные значения $x$, при которых верно неравенство $\frac{x}{9} < \frac{22}{45}$.

Для решения данного неравенства $\frac{x}{9} < \frac{22}{45}$ необходимо выразить переменную $x$. Для этого умножим обе части неравенства на 9. Так как 9 — это положительное число, знак неравенства не изменится:

$x < \frac{22}{45} \cdot 9$

Теперь выполним умножение и сократим дробь в правой части неравенства:

$x < \frac{22 \cdot 9}{45}$

Сокращаем числитель и знаменатель на 9:

$x < \frac{22}{5}$

Чтобы было проще определить натуральные значения $x$, представим неправильную дробь $\frac{22}{5}$ в виде десятичной дроби:

$\frac{22}{5} = 4.4$

Таким образом, мы получили неравенство $x < 4.4$.

По условию задачи, $x$ является натуральным числом. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, 4, \dots$). Нам нужно найти все натуральные числа, которые строго меньше 4.4.

Этому условию удовлетворяют числа 1, 2, 3 и 4.

Ответ: 1, 2, 3, 4.

32. Сколько существует дробей:

1) со знаменателем 24, которые больше $3/8$, но меньше $2/3$;

2) со знаменателем 18, которые больше $7/9$, но меньше $1$;

3) со знаменателем 28, которые больше $3/7$, но меньше $4/7$?

1) Чтобы найти количество дробей со знаменателем 24, которые находятся между $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{3}$, мы должны привести все дроби к общему знаменателю 24. Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{x}{24}$, где $x$ — целое число.

Запишем неравенство:

$ \frac{3}{8} < \frac{x}{24} < \frac{2}{3} $

Приведем дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{3}$ к знаменателю 24:

$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24} $

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24} $

Теперь неравенство выглядит так:

$ \frac{9}{24} < \frac{x}{24} < \frac{16}{24} $

Поскольку знаменатели равны, мы можем сравнить числители:

$ 9 < x < 16 $

Целочисленные значения $x$, удовлетворяющие этому неравенству: 10, 11, 12, 13, 14, 15. Всего таких чисел 6. Следовательно, существует 6 таких дробей.

Ответ: 6

2) Найдем количество дробей со знаменателем 18, которые больше $\frac{7}{9}$, но меньше 1. Пусть искомая дробь — $\frac{y}{18}$, где $y$ — целое число.

Составим неравенство:

$ \frac{7}{9} < \frac{y}{18} < 1 $

Приведем граничные значения к знаменателю 18:

$ \frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18} $

$ 1 = \frac{18}{18} $

Подставим эти значения в неравенство:

$ \frac{14}{18} < \frac{y}{18} < \frac{18}{18} $

Сравниваем числители:

$ 14 < y < 18 $

Целочисленные значения $y$, которые удовлетворяют этому условию: 15, 16, 17. Всего 3 таких числа.

Ответ: 3

3) Определим, сколько существует дробей со знаменателем 28, которые больше $\frac{3}{7}$, но меньше $\frac{4}{7}$. Обозначим искомую дробь как $\frac{z}{28}$, где $z$ — целое число.

Запишем соответствующее неравенство:

$ \frac{3}{7} < \frac{z}{28} < \frac{4}{7} $

Приведем дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{4}{7}$ к общему знаменателю 28:

$ \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{12}{28} $

$ \frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{16}{28} $

Неравенство принимает вид:

$ \frac{12}{28} < \frac{z}{28} < \frac{16}{28} $

Отсюда следует неравенство для числителей:

$ 12 < z < 16 $

Целочисленные значения $z$, удовлетворяющие этому неравенству: 13, 14, 15. Всего таких чисел 3.

Ответ: 3

33. Расстояние между двумя городами легковой автомобиль проезжает за 5 ч, а грузовой – за 8 ч. Какой автомобиль проедет большее расстояние: легковой за 3 ч или грузовой за 5 ч?

Для того чтобы определить, какой автомобиль проедет большее расстояние, нам нужно сначала найти скорость каждого автомобиля, а затем вычислить путь, который каждый из них преодолеет за указанное время.

Пусть $S$ — это расстояние между двумя городами. Скорость вычисляется по формуле $v = \frac{S}{t}$, где $t$ — время в пути.

1. Скорость легкового автомобиля ($v_л$).
Он проезжает расстояние $S$ за 5 часов, следовательно, его скорость равна:
$v_л = \frac{S}{5}$ (расстояния в час).

2. Скорость грузового автомобиля ($v_г$).
Он проезжает то же расстояние $S$ за 8 часов, значит, его скорость равна:
$v_г = \frac{S}{8}$ (расстояния в час).

Теперь вычислим расстояние, которое проедет каждый автомобиль за заданное время.

3. Расстояние, которое проедет легковой автомобиль за 3 часа ($S_л$).
$S_л = v_л \cdot 3\text{ ч} = \frac{S}{5} \cdot 3 = \frac{3}{5}S$.

4. Расстояние, которое проедет грузовой автомобиль за 5 часов ($S_г$).
$S_г = v_г \cdot 5\text{ ч} = \frac{S}{8} \cdot 5 = \frac{5}{8}S$.

5. Сравнение расстояний.
Нам нужно сравнить $S_л = \frac{3}{5}S$ и $S_г = \frac{5}{8}S$. Для этого сравним дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{8}$. Приведем их к общему знаменателю, который равен 40.
Для первой дроби: $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{24}{40}$.
Для второй дроби: $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{25}{40}$.
Сравниваем полученные дроби: $\frac{25}{40} > \frac{24}{40}$, следовательно, $\frac{5}{8} > \frac{3}{5}$.
Это означает, что расстояние, пройденное грузовым автомобилем за 5 часов, больше, чем расстояние, пройденное легковым автомобилем за 3 часа.

Ответ: грузовой автомобиль за 5 часов проедет большее расстояние.

34. Каким из дробей $\frac{5}{6}$, $\frac{4}{9}$, $\frac{7}{9}$, $\frac{7}{18}$, $\frac{11}{18}$, $\frac{10}{27}$, $\frac{14}{27}$ может быть равным $x$, чтобы было верным неравенство $\frac{17}{54} < x < \frac{41}{54}$?

Для того чтобы определить, какая из предложенных дробей может быть равна $x$, необходимо проверить, удовлетворяет ли каждая из них неравенству $\frac{17}{54} < x < \frac{41}{54}$. Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для дробей в условии (со знаменателями 6, 9, 18, 27) и дробей в неравенстве (со знаменателем 54) является 54. После приведения к общему знаменателю, дробь будет удовлетворять неравенству, если ее числитель будет строго больше 17 и строго меньше 41.

Рассмотрим каждую дробь по отдельности.

Проверка дроби $\frac{5}{6}$

Приводим дробь к знаменателю 54, для этого умножаем числитель и знаменатель на $9$ ($54 \div 6 = 9$):

$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 9}{6 \times 9} = \frac{45}{54}$

Теперь проверяем неравенство: $\frac{17}{54} < \frac{45}{54} < \frac{41}{54}$. Это эквивалентно проверке неравенства для числителей: $17 < 45 < 41$. Данное неравенство неверно, так как $45$ не меньше $41$. Значит, дробь $\frac{5}{6}$ не подходит.

Проверка дроби $\frac{4}{9}$

Приводим дробь к знаменателю 54, для этого умножаем числитель и знаменатель на $6$ ($54 \div 9 = 6$):

$\frac{4}{9} = \frac{4 \times 6}{9 \times 6} = \frac{24}{54}$

Проверяем неравенство для числителей: $17 < 24 < 41$. Данное неравенство верно. Значит, дробь $\frac{4}{9}$ подходит.

Проверка дроби $\frac{7}{9}$

Приводим дробь к знаменателю 54, для этого умножаем числитель и знаменатель на $6$ ($54 \div 9 = 6$):

$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 6}{9 \times 6} = \frac{42}{54}$

Проверяем неравенство для числителей: $17 < 42 < 41$. Данное неравенство неверно, так как $42$ не меньше $41$. Значит, дробь $\frac{7}{9}$ не подходит.

Проверка дроби $\frac{7}{18}$

Приводим дробь к знаменателю 54, для этого умножаем числитель и знаменатель на $3$ ($54 \div 18 = 3$):

$\frac{7}{18} = \frac{7 \times 3}{18 \times 3} = \frac{21}{54}$

Проверяем неравенство для числителей: $17 < 21 < 41$. Данное неравенство верно. Значит, дробь $\frac{7}{18}$ подходит.

Проверка дроби $\frac{11}{18}$

Приводим дробь к знаменателю 54, для этого умножаем числитель и знаменатель на $3$ ($54 \div 18 = 3$):

$\frac{11}{18} = \frac{11 \times 3}{18 \times 3} = \frac{33}{54}$

Проверяем неравенство для числителей: $17 < 33 < 41$. Данное неравенство верно. Значит, дробь $\frac{11}{18}$ подходит.

Проверка дроби $\frac{10}{27}$

Приводим дробь к знаменателю 54, для этого умножаем числитель и знаменатель на $2$ ($54 \div 27 = 2$):

$\frac{10}{27} = \frac{10 \times 2}{27 \times 2} = \frac{20}{54}$

Проверяем неравенство для числителей: $17 < 20 < 41$. Данное неравенство верно. Значит, дробь $\frac{10}{27}$ подходит.

Проверка дроби $\frac{14}{27}$

Приводим дробь к знаменателю 54, для этого умножаем числитель и знаменатель на $2$ ($54 \div 27 = 2$):

$\frac{14}{27} = \frac{14 \times 2}{27 \times 2} = \frac{28}{54}$

Проверяем неравенство для числителей: $17 < 28 < 41$. Данное неравенство верно. Значит, дробь $\frac{14}{27}$ подходит.

Таким образом, неравенству удовлетворяют пять из предложенных дробей.

Ответ: $\frac{4}{9}$, $\frac{7}{18}$, $\frac{11}{18}$, $\frac{10}{27}$, $\frac{14}{27}$.

35. Сколько существует правильных дробей со знаменателем 12?

Правильной дробью называется обыкновенная дробь, у которой числитель (число, стоящее над чертой) меньше знаменателя (числа, стоящего под чертой). Обычно рассматриваются дроби, у которых числитель и знаменатель являются натуральными (целыми и положительными) числами.

В условии задачи дан знаменатель, равный 12. Дробь можно представить в виде $\frac{m}{12}$, где $m$ — это числитель.

Согласно определению правильной дроби, числитель $m$ должен быть натуральным числом и удовлетворять неравенству: $m < 12$

Так как $m$ — это натуральное число, оно может принимать любые целые значения от 1 до 11 включительно. Перечислим все возможные значения для числителя $m$: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$.

Каждому из этих значений $m$ соответствует своя правильная дробь со знаменателем 12. Вот список всех таких дробей: $\frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \frac{3}{12}, \frac{4}{12}, \frac{5}{12}, \frac{6}{12}, \frac{7}{12}, \frac{8}{12}, \frac{9}{12}, \frac{10}{12}, \frac{11}{12}$.

Количество возможных значений для числителя равно 11. Следовательно, существует ровно 11 правильных дробей со знаменателем 12.

Ответ: 11

36. Сколько можно составить неравных между собой правильных дробей, числителями и знаменателями которых являются числа:

1) 3, 5, 7, 11, 13, 17;

2) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

1)

Задача состоит в том, чтобы найти количество различных правильных дробей, которые можно составить из чисел множества $S_1 = \{3, 5, 7, 11, 13, 17\}$.

Правильная дробь — это дробь $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ меньше знаменателя $n$ ($m < n$). Числитель и знаменатель должны быть выбраны из множества $S_1$.

Все числа в данном множестве являются простыми. Это означает, что любая дробь, составленная из двух разных чисел этого множества, будет несократимой, так как наибольший общий делитель двух различных простых чисел равен 1. Следовательно, каждая пара различных чисел $(m, n)$ из множества $S_1$ с условием $m < n$ образует уникальную дробь.

Таким образом, задача сводится к нахождению количества способов выбрать 2 различных числа из набора, состоящего из 6 чисел. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний.

Число сочетаний из $k$ элементов по $n$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=6$ (общее количество чисел) и $k=2$ (мы выбираем числитель и знаменатель). $C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$.

Можно также пересчитать все возможные дроби вручную, чтобы убедиться в правильности:

• Если знаменатель равен 5, числитель может быть 3 (1 дробь: $\frac{3}{5}$).
• Если знаменатель равен 7, числители могут быть 3, 5 (2 дроби: $\frac{3}{7}, \frac{5}{7}$).
• Если знаменатель равен 11, числители могут быть 3, 5, 7 (3 дроби).
• Если знаменатель равен 13, числители могут быть 3, 5, 7, 11 (4 дроби).
• Если знаменатель равен 17, числители могут быть 3, 5, 7, 11, 13 (5 дробей).

Общее количество дробей: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.

Ответ: 15

2)

Задача состоит в том, чтобы найти количество различных правильных дробей, которые можно составить из чисел множества $S_2 = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

В этом множестве есть составные числа, поэтому некоторые дроби могут быть равны друг другу после сокращения (например, $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8}$). Нам нужно найти количество именно уникальных по значению дробей.

Сначала найдем общее количество возможных правильных дробей без учета их равенства. В множестве 8 чисел. Количество способов выбрать 2 различных числа из 8 равно: $C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.

Теперь необходимо найти и исключить все дубликаты. Для этого выпишем все 28 дробей и посмотрим, какие из них равны:

• Со знаменателем 3: $\frac{2}{3}$
• Со знаменателем 4: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$
• Со знаменателем 5: $\frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}$
• Со знаменателем 6: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, $\frac{5}{6}$
• Со знаменателем 7: $\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$
• Со знаменателем 8: $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$, $\frac{7}{8}$
• Со знаменателем 9: $\frac{2}{9}, \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$, $\frac{4}{9}, \frac{5}{9}, \frac{6}{9} = \frac{2}{3}, \frac{8}{9}$

Теперь выявим группы равных дробей:

• $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8}$ (3 дроби, но 1 уникальное значение)
• $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9}$ (2 дроби, но 1 уникальное значение)
• $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9}$ (к этой группе относится и исходная дробь $\frac{2}{3}$ - всего 3 дроби, 1 уникальное значение)
• $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ (к этой группе относится и исходная дробь $\frac{3}{4}$ - всего 2 дроби, 1 уникальное значение)

Подсчитаем количество "лишних" дробей (дубликатов):

• Для значения $\frac{1}{2}$ есть 3 дроби. Считаем одну, 2 лишние.
• Для значения $\frac{1}{3}$ есть 2 дроби. Считаем одну, 1 лишняя.
• Для значения $\frac{2}{3}$ есть 3 дроби. Считаем одну, 2 лишние.
• Для значения $\frac{3}{4}$ есть 2 дроби. Считаем одну, 1 лишняя.

Общее число дубликатов: $2 + 1 + 2 + 1 = 6$.

Количество уникальных дробей равно общему числу дробей минус количество дубликатов: $28 - 6 = 22$.

Ответ: 22

37. Сколько существует неправильных дробей с числителем 10?

Неправильной называется обыкновенная дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{a}{b}$, где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель.

Согласно условию задачи, числитель дроби равен 10, то есть $a = 10$. Таким образом, мы ищем дроби вида $\frac{10}{b}$.

Для того чтобы дробь $\frac{10}{b}$ была неправильной, должно выполняться неравенство: числитель $\geq$ знаменатель. В нашем случае это $10 \geq b$.

Также, по определению дроби, знаменатель $b$ должен быть натуральным числом. Натуральные числа — это числа, используемые при счёте: $1, 2, 3, \dots$. Следовательно, $b \geq 1$.

Таким образом, нам нужно найти все натуральные числа $b$, которые удовлетворяют условию $1 \leq b \leq 10$.

Перечислим все возможные значения для знаменателя $b$: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$.

Каждому из этих значений знаменателя соответствует одна уникальная неправильная дробь с числителем 10. Всего таких значений 10.

Это дроби: $\frac{10}{1}, \frac{10}{2}, \frac{10}{3}, \frac{10}{4}, \frac{10}{5}, \frac{10}{6}, \frac{10}{7}, \frac{10}{8}, \frac{10}{9}, \frac{10}{10}$.

Ответ: 10.

38. Сколько можно составить неравных между собой неправильных дробей, числителями и знаменателями которых являются числа:

1) 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23;

2) 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12?

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Нам нужно найти количество уникальных значений таких дробей, которые можно составить из предложенных чисел.

1)

Заданный набор чисел: $S_1 = \{7, 11, 13, 15, 17, 19, 23\}$. Всего 7 чисел.

Необходимо составить неправильные дроби $a/b$, где $a, b \in S_1$ и $a \ge b$. Важное свойство этого набора чисел заключается в том, что все они являются попарно взаимно простыми (наибольший общий делитель любой пары чисел равен 1). Например, $15 = 3 \cdot 5$, но в наборе нет других чисел, делящихся на 3 или 5.

Это свойство означает, что две дроби $a/b$ и $c/d$, составленные из этих чисел, будут равны только в том случае, если они идентичны, то есть $a=c$ и $b=d$. Действительно, из $a/b = c/d$ следует $a \cdot d = b \cdot c$. Так как $a$ взаимно просто с $b$, то $a$ должно делить $c$. Так как $c$ взаимно просто с $d$, то $c$ должно делить $a$. Поскольку числа положительные, из этого следует, что $a=c$, а значит и $b=d$.

Единственное исключение — это дроби, равные единице. Все они имеют одно и то же значение.

Разобьем задачу на два случая:

1. Случай, когда числитель равен знаменателю ($a=b$).
Можно составить следующие дроби: $7/7, 11/11, 13/13, 15/15, 17/17, 19/19, 23/23$.
Все эти дроби равны 1. Так как нам нужно найти количество неравных между собой дробей, все эти 7 дробей дают только одно уникальное значение.
Количество дробей в этом случае: 1.

2. Случай, когда числитель больше знаменателя ($a>b$).
Для составления такой дроби нужно выбрать два различных числа из набора $S_1$. Большее число станет числителем, а меньшее — знаменателем. Каждая такая пара даст уникальную неправильную дробь, значение которой будет больше 1. Как мы показали выше, все эти дроби будут различны.
Количество способов выбрать 2 различных числа из 7 равно числу сочетаний из 7 по 2:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.
Каждый из этих 21 способа дает новую уникальную дробь.

Суммируя количество уникальных дробей из обоих случаев, получаем общее количество:
$1 (\text{для случая } a=b) + 21 (\text{для случая } a>b) = 22$.

Ответ: 22.

2)

Заданный набор чисел: $S_2 = \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 12\}$. Всего 7 чисел.

В этом наборе числа не являются попарно взаимно простыми. Например, $6$ и $8$ имеют общий делитель 2. Это означает, что разные пары числителей и знаменателей могут давать равные дроби. Например, $12/6 = 2$ и $10/5 = 2$.

Чтобы найти количество уникальных дробей, нужно перебрать все возможные неправильные дроби $a/b$ ($a, b \in S_2, a \ge b$), привести их к несократимому виду и посчитать количество уникальных результатов.

Общее число пар $(a,b)$ с условием $a \ge b$ равно $C_7^2 + 7 = 21 + 7 = 28$.

Найдем группы пар, которые дают одинаковое значение:

• Значение 1: $5/5, 6/6, 7/7, 8/8, 9/9, 10/10, 12/12$. (7 пар дают 1 уникальное значение)
• $10/5 = 2$ и $12/6 = 2$. (2 пары дают 1 уникальное значение)
• $9/6 = 3/2$ и $12/8 = 3/2$. (2 пары дают 1 уникальное значение)
• $8/6 = 4/3$ и $12/9 = 4/3$. (2 пары дают 1 уникальное значение)
• $12/10 = 6/5$. Пара $(6,5)$ также возможна. (2 пары $12/10$ и $6/5$ дают 1 уникальное значение)

Подсчитаем количество пар, которые мы рассмотрели в этих группах:
$7 + 2 + 2 + 2 + 2 = 15$ пар.
Эти 15 пар создают всего 5 уникальных значений ($1, 2, 3/2, 4/3, 6/5$).

Теперь найдем, сколько пар осталось. Общее количество пар 28.$28 - 15 = 13$ пар.

Эти 13 пар должны давать уникальные значения, которые не встречались ранее и не равны друг другу. Давайте их перечислим:

• $7/5, 8/5, 9/5, 12/5$ (4 дроби)
• $7/6, 10/6=5/3$ (2 дроби)
• $8/7, 9/7, 10/7, 12/7$ (4 дроби)
• $9/8, 10/8=5/4$ (2 дроби)
• $10/9$ (1 дробь)

Всего $4+2+4+2+1=13$ дробей. Каждая из них уникальна.

Общее количество неравных между собой неправильных дробей равно сумме уникальных значений из групп и количества оставшихся уникальных дробей:
$5 + 13 = 18$.

Ответ: 18.

39. Какому из данных промежутков принадлежит число $\frac{10}{15}$:

1) (0; 0,25);

2) (0,25; 0,5);

3) (0,5; 0,75);

4) (0,75; 1)?

Для того чтобы определить, какому из предложенных промежутков принадлежит число $\frac{10}{15}$, необходимо преобразовать его в десятичную дробь и сравнить с границами указанных промежутков.

1. Упрощение дроби.

Сначала упростим дробь $\frac{10}{15}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5.

$\frac{10}{15} = \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$

2. Преобразование в десятичную дробь.

Теперь преобразуем полученную обыкновенную дробь $\frac{2}{3}$ в десятичную. Для этого разделим числитель 2 на знаменатель 3.

$\frac{2}{3} = 2 \div 3 = 0,666...$

Полученное число является бесконечной периодической десятичной дробью $0,(6)$.

3. Сравнение с промежутками.

Сравним значение $0,666...$ с каждым из данных промежутков:

1) (0; 0,25);

Проверяем неравенство $0 < 0,666... < 0,25$. Неравенство ложно, так как $0,666... > 0,25$.

2) (0,25; 0,5);

Проверяем неравенство $0,25 < 0,666... < 0,5$. Неравенство ложно, так как $0,666... > 0,5$.

3) (0,5; 0,75);

Проверяем неравенство $0,5 < 0,666... < 0,75$. Это неравенство истинно, так как $0,666...$ действительно находится между $0,5$ и $0,75$.

4) (0,75; 1)?

Проверяем неравенство $0,75 < 0,666... < 1$. Неравенство ложно, так как $0,666... < 0,75$.

Таким образом, число $\frac{10}{15}$ принадлежит промежутку $(0,5; 0,75)$.

Ответ: 3

40. Вычислите значение выражения:

1) $\frac{9}{11} - \frac{3}{7};$

2) $\frac{11}{16} - \frac{9}{32};$

3) $\frac{14}{15} - \frac{9}{10};$

4) $\frac{3}{16} + \frac{7}{24} - \frac{5}{8};$

5) $2\frac{3}{4} + 6\frac{7}{10};$

6) $5\frac{2}{9} - 2\frac{5}{7};$

7) $4\frac{7}{30} - 1\frac{11}{20};$

8) $\frac{5}{7} - 0.6;$

9) $0.35 + \frac{8}{15}.$

1) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 11 и 7 это их произведение: $11 \times 7 = 77$.
$\frac{9}{11} - \frac{3}{7} = \frac{9 \times 7}{11 \times 7} - \frac{3 \times 11}{7 \times 11} = \frac{63}{77} - \frac{33}{77} = \frac{63 - 33}{77} = \frac{30}{77}$.
Ответ: $\frac{30}{77}$

2) Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 16 и 32 это 32, так как $16 \times 2 = 32$.
$\frac{11}{16} - \frac{9}{32} = \frac{11 \times 2}{16 \times 2} - \frac{9}{32} = \frac{22}{32} - \frac{9}{32} = \frac{22 - 9}{32} = \frac{13}{32}$.
Ответ: $\frac{13}{32}$

3) Найдем наименьший общий знаменатель для 15 и 10. Это число 30.
$\frac{14}{15} - \frac{9}{10} = \frac{14 \times 2}{15 \times 2} - \frac{9 \times 3}{10 \times 3} = \frac{28}{30} - \frac{27}{30} = \frac{28 - 27}{30} = \frac{1}{30}$.
Ответ: $\frac{1}{30}$

4) Для выполнения сложения и вычитания найдем наименьший общий знаменатель для 16, 24 и 8. Это число 48.
$\frac{3}{16} + \frac{7}{24} - \frac{5}{8} = \frac{3 \times 3}{16 \times 3} + \frac{7 \times 2}{24 \times 2} - \frac{5 \times 6}{8 \times 6} = \frac{9}{48} + \frac{14}{48} - \frac{30}{48} = \frac{9 + 14 - 30}{48} = \frac{23 - 30}{48} = -\frac{7}{48}$.
Ответ: $-\frac{7}{48}$

5) Сложим целые и дробные части смешанных чисел отдельно.
$2\frac{3}{4} + 6\frac{7}{10} = (2 + 6) + (\frac{3}{4} + \frac{7}{10})$.
Сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю 20:
$\frac{3}{4} + \frac{7}{10} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} + \frac{7 \times 2}{10 \times 2} = \frac{15}{20} + \frac{14}{20} = \frac{29}{20} = 1\frac{9}{20}$.
Теперь сложим целые части: $8 + 1\frac{9}{20} = 9\frac{9}{20}$.
Ответ: $9\frac{9}{20}$

6) Чтобы вычесть смешанные числа, представим их в виде неправильных дробей.
$5\frac{2}{9} = \frac{5 \times 9 + 2}{9} = \frac{47}{9}$.
$2\frac{5}{7} = \frac{2 \times 7 + 5}{7} = \frac{19}{7}$.
Теперь вычтем дроби, приведя их к общему знаменателю 63 ($9 \times 7$):
$\frac{47}{9} - \frac{19}{7} = \frac{47 \times 7}{9 \times 7} - \frac{19 \times 9}{7 \times 9} = \frac{329}{63} - \frac{171}{63} = \frac{158}{63}$.
Выделим целую часть: $\frac{158}{63} = 2\frac{32}{63}$.
Ответ: $2\frac{32}{63}$

7) Представим смешанные числа в виде неправильных дробей.
$4\frac{7}{30} = \frac{4 \times 30 + 7}{30} = \frac{127}{30}$.
$1\frac{11}{20} = \frac{1 \times 20 + 11}{20} = \frac{31}{20}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 60 и выполним вычитание:
$\frac{127}{30} - \frac{31}{20} = \frac{127 \times 2}{30 \times 2} - \frac{31 \times 3}{20 \times 3} = \frac{254}{60} - \frac{93}{60} = \frac{161}{60}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{161}{60} = 2\frac{41}{60}$.
Ответ: $2\frac{41}{60}$

8) Преобразуем десятичную дробь 0,6 в обыкновенную: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Теперь выполним вычитание: $\frac{5}{7} - \frac{3}{5}$.
Общий знаменатель для 7 и 5 равен 35.
$\frac{5 \times 5}{7 \times 5} - \frac{3 \times 7}{5 \times 7} = \frac{25}{35} - \frac{21}{35} = \frac{4}{35}$.
Ответ: $\frac{4}{35}$

9) Преобразуем десятичную дробь 0,35 в обыкновенную: $0,35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$.
Теперь выполним сложение: $\frac{7}{20} + \frac{8}{15}$.
Наименьший общий знаменатель для 20 и 15 равен 60.
$\frac{7 \times 3}{20 \times 3} + \frac{8 \times 4}{15 \times 4} = \frac{21}{60} + \frac{32}{60} = \frac{53}{60}$.
Ответ: $\frac{53}{60}$