Номер 32, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные числа и действия с ними. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 32, страница 212.

32. Сколько существует дробей:

1) со знаменателем 24, которые больше $3/8$, но меньше $2/3$;

2) со знаменателем 18, которые больше $7/9$, но меньше $1$;

3) со знаменателем 28, которые больше $3/7$, но меньше $4/7$?

1) Чтобы найти количество дробей со знаменателем 24, которые находятся между $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{3}$, мы должны привести все дроби к общему знаменателю 24. Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{x}{24}$, где $x$ — целое число.

Запишем неравенство:

$ \frac{3}{8} < \frac{x}{24} < \frac{2}{3} $

Приведем дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{3}$ к знаменателю 24:

$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24} $

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24} $

Теперь неравенство выглядит так:

$ \frac{9}{24} < \frac{x}{24} < \frac{16}{24} $

Поскольку знаменатели равны, мы можем сравнить числители:

$ 9 < x < 16 $

Целочисленные значения $x$, удовлетворяющие этому неравенству: 10, 11, 12, 13, 14, 15. Всего таких чисел 6. Следовательно, существует 6 таких дробей.

Ответ: 6

2) Найдем количество дробей со знаменателем 18, которые больше $\frac{7}{9}$, но меньше 1. Пусть искомая дробь — $\frac{y}{18}$, где $y$ — целое число.

Составим неравенство:

$ \frac{7}{9} < \frac{y}{18} < 1 $

Приведем граничные значения к знаменателю 18:

$ \frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18} $

$ 1 = \frac{18}{18} $

Подставим эти значения в неравенство:

$ \frac{14}{18} < \frac{y}{18} < \frac{18}{18} $

Сравниваем числители:

$ 14 < y < 18 $

Целочисленные значения $y$, которые удовлетворяют этому условию: 15, 16, 17. Всего 3 таких числа.

Ответ: 3

3) Определим, сколько существует дробей со знаменателем 28, которые больше $\frac{3}{7}$, но меньше $\frac{4}{7}$. Обозначим искомую дробь как $\frac{z}{28}$, где $z$ — целое число.

Запишем соответствующее неравенство:

$ \frac{3}{7} < \frac{z}{28} < \frac{4}{7} $

Приведем дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{4}{7}$ к общему знаменателю 28:

$ \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{12}{28} $

$ \frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{16}{28} $

Неравенство принимает вид:

$ \frac{12}{28} < \frac{z}{28} < \frac{16}{28} $

Отсюда следует неравенство для числителей:

$ 12 < z < 16 $

Целочисленные значения $z$, удовлетворяющие этому неравенству: 13, 14, 15. Всего таких чисел 3.

Ответ: 3