Номер 26, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Делимость натуральных чисел. Признаки делимости. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 26, страница 211.

26. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a$ — чётное, $b$ — нечётное. Значение какого из данных выражений не может быть натуральным числом:

1) $\frac{4b}{3a}$;

2) $\frac{2a}{b}$;

3) $\frac{a^2}{b^2}$;

4) $\frac{b^2}{a}$?

По условию задачи, $a$ — натуральное чётное число, а $b$ — натуральное нечётное число. Проанализируем каждое из предложенных выражений, чтобы определить, какое из них не может быть натуральным числом.

1) $\frac{4b}{3a}$

Чтобы это выражение было натуральным числом, необходимо, чтобы нашлись такие натуральные значения $a$ (чётное) и $b$ (нечётное), при которых числитель $4b$ делится нацело на знаменатель $3a$. Попробуем подобрать пример. Пусть $a = 2$ (чётное) и $b = 3$ (нечётное). Подставим эти значения в выражение: $\frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{12}{6} = 2$. Поскольку результат, 2, является натуральным числом, данное выражение может быть натуральным.
Ответ: может быть натуральным числом.

2) $\frac{2a}{b}$

Проверим, может ли это выражение быть натуральным. Для этого нужно, чтобы $b$ делило $2a$. Пусть $a = 4$ (чётное) и $b = 1$ (нечётное). Подставим значения: $\frac{2 \cdot 4}{1} = 8$. Поскольку результат, 8, является натуральным числом, данное выражение может быть натуральным.
Ответ: может быть натуральным числом.

3) $\frac{a^2}{b^2}$

Это выражение будет натуральным, если $a^2$ делится нацело на $b^2$. Это возможно, если $a$ делится нацело на $b$. Подберем пример. Пусть $b = 3$ (нечётное), а $a = 6$ (чётное и кратное 3). Подставим значения: $\frac{6^2}{3^2} = \frac{36}{9} = 4$. Поскольку результат, 4, является натуральным числом, данное выражение может быть натуральным.
Ответ: может быть натуральным числом.

4) $\frac{b^2}{a}$

Рассмотрим свойства чётности чисел в этом выражении. По условию, $b$ — нечётное число. Квадрат нечётного числа ($b^2 = b \cdot b$) всегда является нечётным числом. По условию, $a$ — чётное число. Таким образом, мы имеем дробь вида $\frac{нечётное}{чётное}$.

Предположим, что эта дробь равна некоторому натуральному числу $N$. Тогда должно выполняться равенство $\frac{b^2}{a} = N$, что эквивалентно $b^2 = N \cdot a$. В левой части этого равенства стоит нечётное число ($b^2$). В правой части стоит произведение $N \cdot a$. Так как $a$ — чётное, произведение любого натурального числа $N$ на $a$ всегда будет чётным числом. Мы получили противоречие: $нечётное\:число = чётное\:число$. Такое равенство невозможно. Следовательно, значение выражения $\frac{b^2}{a}$ не может быть натуральным числом.
Ответ: не может быть натуральным числом.