Номер 28, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Делимость натуральных чисел. Признаки делимости. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 28, страница 211.

28. Какую одну и ту же цифру надо приписать слева и справа к числу 25, чтобы полученное число было кратным 6?

Пусть искомая цифра — это x. Когда мы приписываем эту цифру слева и справа к числу 25, мы получаем четырехзначное число, которое можно записать как $\overline{x25x}$.

Поскольку x — это первая цифра числа, она не может быть нулем. Таким образом, x может быть любой цифрой от 1 до 9, то есть $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Согласно условию, число $\overline{x25x}$ должно быть кратно 6. Для того чтобы число было кратно 6, оно должно одновременно делиться на 2 и на 3. Рассмотрим оба признака делимости.

Признак делимости на 2

Число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра является четной. В нашем случае последняя цифра числа $\overline{x25x}$ — это x. Следовательно, x должна быть четной цифрой. Это сужает наш поиск до следующих вариантов: $x \in \{2, 4, 6, 8\}$.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3. Найдем сумму цифр числа $\overline{x25x}$: $S = x + 2 + 5 + x = 2x + 7$.

Теперь нам нужно проверить, для каких из найденных возможных значений x (2, 4, 6, 8) сумма $2x + 7$ будет кратна 3.

- Если $x = 2$, то сумма цифр $S = 2 \cdot 2 + 7 = 11$. Число 11 не делится на 3.

- Если $x = 4$, то сумма цифр $S = 2 \cdot 4 + 7 = 15$. Число 15 делится на 3, так как $15 \div 3 = 5$. Этот вариант подходит.

- Если $x = 6$, то сумма цифр $S = 2 \cdot 6 + 7 = 19$. Число 19 не делится на 3.

- Если $x = 8$, то сумма цифр $S = 2 \cdot 8 + 7 = 23$. Число 23 не делится на 3.

Таким образом, единственная цифра, удовлетворяющая всем условиям, — это 4. Если мы припишем цифру 4 слева и справа к числу 25, мы получим число 4254. Это число является четным (делится на 2) и сумма его цифр $4+2+5+4=15$ делится на 3. Следовательно, число 4254 делится на 6.

Ответ: 4