Номер 27, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Делимость натуральных чисел. Признаки делимости. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 27, страница 211.

27. Сколько натуральных делителей имеет произведение двух различных простых чисел?

Пусть даны два различных простых числа, обозначим их как $p$ и $q$. По условию, $p \neq q$.

Их произведение — это число $N = p \cdot q$. Необходимо найти количество всех натуральных делителей числа $N$.

Поскольку $p$ и $q$ являются простыми числами, их единственными простыми множителями являются они сами. Следовательно, каноническое разложение числа $N$ на простые множители уже представлено в виде $N = p^1 \cdot q^1$.

Любой натуральный делитель числа $N$ должен состоять из произведения тех же простых множителей, но в степенях, не превышающих их степени в разложении числа $N$. Таким образом, любой делитель $d$ числа $N$ имеет вид $d = p^a \cdot q^b$, где $a$ может принимать значения 0 или 1, и $b$ также может принимать значения 0 или 1.

Перечислим все возможные комбинации степеней $a$ и $b$ и соответствующие им делители:

1. При $a=0, b=0$ делитель равен $p^0 \cdot q^0 = 1 \cdot 1 = 1$.

2. При $a=1, b=0$ делитель равен $p^1 \cdot q^0 = p \cdot 1 = p$.

3. При $a=0, b=1$ делитель равен $p^0 \cdot q^1 = 1 \cdot q = q$.

4. При $a=1, b=1$ делитель равен $p^1 \cdot q^1 = p \cdot q$.

Так как $p$ и $q$ — различные простые числа (оба больше 1), все четыре полученных делителя ($1, p, q, p \cdot q$) различны. Таким образом, мы получили ровно четыре натуральных делителя.

Этот результат можно также получить с помощью общей формулы для числа делителей. Если натуральное число $N$ имеет каноническое разложение $N = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \dots \cdot p_m^{k_m}$, то общее число его натуральных делителей, обозначаемое как $\tau(N)$, вычисляется по формуле:

$\tau(N) = (k_1 + 1)(k_2 + 1)\dots(k_m + 1)$

Для нашего числа $N = p^1 \cdot q^1$ показатели степеней равны $k_1 = 1$ и $k_2 = 1$. Подставив эти значения в формулу, получаем:

$\tau(N) = (1 + 1)(1 + 1) = 2 \cdot 2 = 4$.

Пример:

Возьмем два различных простых числа, например, 3 и 5. Их произведение равно $3 \cdot 5 = 15$. Натуральными делителями числа 15 являются 1, 3, 5, 15. Их количество равно 4.

Ответ: 4