Номер 25, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Делимость натуральных чисел. Признаки делимости - номер 25, страница 211.

Учебник.

25. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a$ – чётное, $b$ – нечётное. Какое из данных равенств возможно:

1) $\frac{a+1}{b-1}=1$;

2) $ab=25$;

3) $\frac{a}{b}=2$;

4) $\frac{b}{a}=4$?

Решение 2.

По условию задачи, $a$ — чётное натуральное число, а $b$ — нечётное натуральное число. Проанализируем каждое из предложенных равенств, используя свойства чётности чисел.

1) $\frac{a+1}{b-1} = 1$

Из этого равенства следует, что числитель равен знаменателю: $a+1 = b-1$. Это возможно только если знаменатель не равен нулю, то есть $b \neq 1$. Выразим $a$ из этого равенства: $a = b-2$.
Поскольку $b$ — нечётное число, то разность $b-2$ (разность нечётного и чётного чисел) также является нечётным числом. Таким образом, мы получаем, что $a$ должно быть нечётным. Это противоречит исходному условию, что $a$ — чётное.
Если $b=1$, то знаменатель обращается в ноль, и деление невозможно. Следовательно, данное равенство невозможно.

Ответ: невозможно.

2) $ab = 25$

Произведение чётного числа ($a$) на любое целое число (в данном случае на нечётное $b$) всегда является чётным числом. Это можно показать формально: если $a=2k$ для некоторого натурального $k$, то $ab = (2k)b = 2(kb)$, что очевидно делится на 2.
Число 25 является нечётным. Равенство между чётным числом ($ab$) и нечётным числом (25) невозможно.

Ответ: невозможно.

3) $\frac{a}{b} = 2$

Из этого равенства следует, что $a = 2b$.
Поскольку $b$ — нечётное число, то произведение $2b$ является чётным числом. Это означает, что $a$ — чётное, что полностью соответствует условию задачи.
Мы можем привести пример, чтобы подтвердить возможность: пусть нечётное натуральное число $b=3$. Тогда чётное натуральное число $a = 2 \cdot 3 = 6$. Эти значения удовлетворяют всем условиям, и равенство $\frac{6}{3}=2$ выполняется. Следовательно, данное равенство возможно.

Ответ: возможно.

4) $\frac{b}{a} = 4$

Из этого равенства следует, что $b = 4a$.
Поскольку $a$ — натуральное число, то произведение $4a$ всегда является чётным числом (так как $4a = 2(2a)$). Это означает, что $b$ должно быть чётным числом. Однако это противоречит исходному условию, что $b$ — нечётное.

Ответ: невозможно.