Номер 18, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Делимость натуральных чисел. Признаки делимости. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 18, страница 211.

18. Яблоки можно разложить поровну в 12 пакетов или, тоже поровну, в 16 пакетов. Сколько имеется яблок, если известно, что их больше 80, но меньше 120?

Пусть $N$ — искомое количество яблок. По условию, яблоки можно разложить поровну в 12 пакетов, значит, $N$ делится на 12 без остатка. Также яблоки можно разложить поровну в 16 пакетов, следовательно, $N$ делится и на 16 без остатка. Таким образом, число $N$ должно быть общим кратным для чисел 12 и 16.

Чтобы найти все возможные значения $N$, сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел. Для этого разложим числа 12 и 16 на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

Наименьшее общее кратное находится как произведение всех простых множителей, взятых в наибольшей встречающейся степени:
НОК(12, 16) = $2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48$.

Это означает, что любое возможное количество яблок должно быть кратно 48. Выпишем несколько таких чисел: 48, 96, 144, 192, и так далее.

По условию задачи, количество яблок больше 80, но меньше 120. Запишем это ограничение в виде двойного неравенства: $80 < N < 120$.

Теперь из списка кратных числу 48 выберем то, которое попадает в указанный интервал.
Число 48 не удовлетворяет условию, так как $48 < 80$.
Число 96 удовлетворяет условию, так как $80 < 96 < 120$.
Следующее число, 144, не удовлетворяет условию, так как $144 > 120$.

Следовательно, единственное подходящее количество яблок — 96.

Ответ: 96.