Номер 11, страница 210 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Делимость натуральных чисел. Признаки делимости. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 11, страница 210.

11. Может ли быть простым числом сумма четырёх последовательных натуральных чисел?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим сумму четырёх последовательных натуральных чисел в общем виде. Пусть первое из этих чисел равно $n$, где $n$ — натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$).

Тогда четыре последовательных натуральных числа можно записать как $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$.

Найдём их сумму, которую обозначим как $S$:

$S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3)$

Сложим все слагаемые:

$S = 4n + 6$

Теперь проанализируем полученное выражение $S = 4n + 6$. Можно вынести общий множитель 2 за скобки:

$S = 2(2n + 3)$

Из этой формулы видно, что сумма $S$ всегда является произведением числа 2 и числа $(2n+3)$. Это означает, что $S$ всегда является чётным числом.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Единственное чётное простое число — это 2. Все остальные чётные числа больше 2 являются составными, так как делятся на 2.

Проверим, может ли сумма $S$ быть равной 2. Для этого решим уравнение:

$4n + 6 = 2$

$4n = 2 - 6$

$4n = -4$

$n = -1$

Значение $n = -1$ не является натуральным числом, так как по определению натуральные числа — это $1, 2, 3, \ldots$. Следовательно, сумма четырёх последовательных натуральных чисел не может быть равна 2.

Поскольку $n$ — натуральное число, минимальное значение $n$ равно 1. Найдём минимально возможную сумму:

При $n=1$, $S = 4(1) + 6 = 10$.

Таким образом, сумма четырёх последовательных натуральных чисел всегда является чётным числом, которое больше 2 (минимальное значение равно 10). Любое такое число является составным, так как оно делится на 1, на само себя и на 2. Значит, оно не может быть простым.

Ответ: нет, не может.