Номер 13, страница 210 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Делимость натуральных чисел. Признаки делимости - номер 13, страница 210.

Учебник.

13. Сократимой или несократимой является дробь:

1) $ \frac{7425}{10^5 - 1} $;

2) $ \frac{10^{100} + 5}{35} $;

3) $ \frac{10^{100} + 5}{36} $;

Решение 2.

1) Рассмотрим дробь $\frac{7425}{10^5 - 1}$.

Дробь является сократимой, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1. Для проверки найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя или просто проверим их на делимость на некоторые простые числа.

Знаменатель дроби: $10^5 - 1 = 100000 - 1 = 99999$.

Воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Для числителя 7425: сумма цифр равна $7 + 4 + 2 + 5 = 18$. Так как 18 делится на 9, то и 7425 делится на 9.

Для знаменателя 99999: сумма цифр равна $9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45$. Так как 45 делится на 9, то и 99999 делится на 9.

Поскольку и числитель, и знаменатель делятся на 9, у них есть общий делитель, равный 9. Следовательно, дробь является сократимой.

Ответ: сократимой.

2) Рассмотрим дробь $\frac{10^{100} + 5}{35}$.

Чтобы дробь была сократимой, ее числитель и знаменатель должны иметь общий делитель, больший 1. Знаменатель равен $35 = 5 \times 7$. Проверим, делится ли числитель $10^{100} + 5$ на 5 или на 7.

Воспользуемся признаком делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.

Число $10^{100}$ представляет собой единицу со 100 нулями, то есть оно оканчивается на 0. Следовательно, $10^{100}$ делится на 5.

Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 5, также делится на 5. Числитель $10^{100} + 5$ является суммой двух чисел ($10^{100}$ и 5), каждое из которых делится на 5. Значит, и вся сумма $10^{100} + 5$ делится на 5.

Другой способ: число $10^{100} + 5$ оканчивается на цифру 5 ($...0 + 5 = ...5$), следовательно, оно делится на 5.

Так как и числитель ($10^{100} + 5$), и знаменатель (35) делятся на 5, дробь является сократимой.

Ответ: сократимой.

3) Рассмотрим дробь $\frac{10^{100} + 5}{36}$.

Дробь будет сократимой, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1. Знаменатель равен $36 = 4 \times 9 = 2^2 \times 3^2$. Проверим, делится ли числитель $10^{100} + 5$ на простые множители знаменателя: 2 или 3.

Проверим делимость на 2: Число $10^{100}$ является четным (оканчивается на 0), а число 5 — нечетным. Сумма четного и нечетного чисел всегда нечетна. Значит, $10^{100} + 5$ — нечетное число и на 2 не делится.

Проверим делимость на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Число $10^{100}$ — это 1 и 100 нулей. Число $10^{100} + 5$ будет выглядеть как 1, за которым следуют 99 нулей, и последняя цифра 5. То есть, $100...05$.

Сумма цифр числителя равна $1 + \underbrace{0 + 0 + \dots + 0}_{99 \text{ нулей}} + 5 = 6$.

Так как сумма цифр (6) делится на 3, то и само число $10^{100} + 5$ делится на 3.

Знаменатель 36 также делится на 3.

Поскольку и числитель, и знаменатель делятся на 3, у них есть общий делитель, равный 3. Следовательно, дробь является сократимой.

Ответ: сократимой.