Номер 17, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Делимость натуральных чисел. Признаки делимости. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 17, страница 211.

17. Книги можно расставить поровну на 12 полках или на 8 полках. Сколько имеется книг, если известно, что их больше 100, но меньше 140?

Пусть искомое количество книг равно $N$.

Из условия задачи известно, что книги можно расставить поровну на 12 полках. Это значит, что число $N$ должно быть кратно 12, то есть делиться на 12 без остатка.

Также известно, что книги можно расставить поровну на 8 полках. Это значит, что число $N$ должно быть кратно 8, то есть делиться на 8 без остатка.

Следовательно, число $N$ должно быть общим кратным для чисел 12 и 8. Чтобы найти все такие числа, нужно сначала найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Для нахождения НОК разложим числа 12 и 8 на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Наименьшее общее кратное находится путем перемножения всех простых множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они встречаются в разложениях:
$НОК(12, 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$

Это означает, что общее количество книг $N$ должно делиться на 24. Теперь найдем все числа, кратные 24, которые находятся в заданном диапазоне — больше 100, но меньше 140. Математически это можно записать как неравенство: $100 < N < 140$.

Рассмотрим числа, кратные 24:
$24 \cdot 1 = 24$
$24 \cdot 2 = 48$
$24 \cdot 3 = 72$
$24 \cdot 4 = 96$ (Это число меньше 100, поэтому не подходит).
$24 \cdot 5 = 120$ (Это число удовлетворяет условию $100 < 120 < 140$).
$24 \cdot 6 = 144$ (Это число больше 140, поэтому не подходит).

Единственное число, которое кратно 24 и находится в указанном интервале, — это 120.

Ответ: 120.