Страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17. Книги можно расставить поровну на 12 полках или на 8 полках. Сколько имеется книг, если известно, что их больше 100, но меньше 140?

Пусть искомое количество книг равно $N$.

Из условия задачи известно, что книги можно расставить поровну на 12 полках. Это значит, что число $N$ должно быть кратно 12, то есть делиться на 12 без остатка.

Также известно, что книги можно расставить поровну на 8 полках. Это значит, что число $N$ должно быть кратно 8, то есть делиться на 8 без остатка.

Следовательно, число $N$ должно быть общим кратным для чисел 12 и 8. Чтобы найти все такие числа, нужно сначала найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Для нахождения НОК разложим числа 12 и 8 на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Наименьшее общее кратное находится путем перемножения всех простых множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они встречаются в разложениях:
$НОК(12, 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$

Это означает, что общее количество книг $N$ должно делиться на 24. Теперь найдем все числа, кратные 24, которые находятся в заданном диапазоне — больше 100, но меньше 140. Математически это можно записать как неравенство: $100 < N < 140$.

Рассмотрим числа, кратные 24:
$24 \cdot 1 = 24$
$24 \cdot 2 = 48$
$24 \cdot 3 = 72$
$24 \cdot 4 = 96$ (Это число меньше 100, поэтому не подходит).
$24 \cdot 5 = 120$ (Это число удовлетворяет условию $100 < 120 < 140$).
$24 \cdot 6 = 144$ (Это число больше 140, поэтому не подходит).

Единственное число, которое кратно 24 и находится в указанном интервале, — это 120.

Ответ: 120.

18. Яблоки можно разложить поровну в 12 пакетов или, тоже поровну, в 16 пакетов. Сколько имеется яблок, если известно, что их больше 80, но меньше 120?

Пусть $N$ — искомое количество яблок. По условию, яблоки можно разложить поровну в 12 пакетов, значит, $N$ делится на 12 без остатка. Также яблоки можно разложить поровну в 16 пакетов, следовательно, $N$ делится и на 16 без остатка. Таким образом, число $N$ должно быть общим кратным для чисел 12 и 16.

Чтобы найти все возможные значения $N$, сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел. Для этого разложим числа 12 и 16 на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

Наименьшее общее кратное находится как произведение всех простых множителей, взятых в наибольшей встречающейся степени:
НОК(12, 16) = $2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48$.

Это означает, что любое возможное количество яблок должно быть кратно 48. Выпишем несколько таких чисел: 48, 96, 144, 192, и так далее.

По условию задачи, количество яблок больше 80, но меньше 120. Запишем это ограничение в виде двойного неравенства: $80 < N < 120$.

Теперь из списка кратных числу 48 выберем то, которое попадает в указанный интервал.
Число 48 не удовлетворяет условию, так как $48 < 80$.
Число 96 удовлетворяет условию, так как $80 < 96 < 120$.
Следующее число, 144, не удовлетворяет условию, так как $144 > 120$.

Следовательно, единственное подходящее количество яблок — 96.

Ответ: 96.

19. Какое наименьшее натуральное число надо прибавить к числу 826, чтобы полученная сумма делилась нацело одновременно на 3 и на 10?

Чтобы полученная сумма делилась одновременно на 3 и на 10, она должна делиться на их наименьшее общее кратное (НОК). Поскольку числа 3 и 10 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), их НОК равно их произведению.

НОК(3, 10) = $3 \times 10 = 30$.

Следовательно, нам нужно найти такое наименьшее натуральное число, которое нужно прибавить к 826, чтобы результат стал кратен 30. Другими словами, мы ищем наименьшее число, кратное 30, которое больше, чем 826.

Найдем ближайшие к 826 числа, кратные 30. Для этого разделим 826 на 30 с остатком:

$826 \div 30 = 27$ (остаток 16).

Это означает, что $826 = 30 \times 27 + 16$.

Ближайшее число, кратное 30, но меньшее 826, это $30 \times 27 = 810$.

Следующее за ним число, кратное 30, будет:

$30 \times (27 + 1) = 30 \times 28 = 840$.

Число 840 — это наименьшее число, большее 826, которое делится на 30. Теперь найдем, какое число нужно прибавить к 826, чтобы получить 840.

Пусть $x$ — искомое число. Тогда:

$826 + x = 840$

$x = 840 - 826$

$x = 14$

Таким образом, наименьшее натуральное число, которое нужно прибавить к 826, — это 14.

Ответ: 14

20. В саду растут яблони и вишни, причём яблонь в 3 раза больше, чем вишен. Какому из приведённых чисел может быть равным общее количество деревьев в саду?

1) 18;

2) 20;

3) 21;

4) 25.

Пусть количество вишен в саду равно $x$. По условию задачи, яблонь в 3 раза больше, чем вишен, следовательно, количество яблонь составляет $3x$.

Общее количество деревьев в саду является суммой количества вишен и яблонь: $N_{общее} = x + 3x = 4x$.

Так как количество деревьев ($x$) должно быть целым числом, общее количество деревьев в саду ($4x$) должно быть числом, которое делится на 4 без остатка.

Проверим предложенные варианты ответов на делимость на 4:

• $18 \div 4 = 4.5$ (не делится нацело)
• $20 \div 4 = 5$ (делится нацело)
• $21 \div 4 = 5.25$ (не делится нацело)
• $25 \div 4 = 6.25$ (не делится нацело)

Единственное число из предложенных, которое кратно 4, — это 20. В этом случае в саду было бы $x = 5$ вишен и $3 \cdot 5 = 15$ яблонь. В сумме это составляет $5 + 15 = 20$ деревьев, что соответствует условию.

Ответ: 20.

21. При делении натурального числа $n$ на 6 получили остаток 4. Чему равен остаток при делении числа $2n$ на 6?

По условию задачи, при делении натурального числа $n$ на $6$ в остатке получается $4$. Это можно записать с помощью формулы деления с остатком: $n = 6k + 4$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число (неполное частное).

Требуется найти остаток от деления числа $2n$ на $6$. Для этого сначала выразим $2n$, умножив предыдущее равенство на $2$: $2n = 2 \cdot (6k + 4)$ $2n = 12k + 8$

Теперь нам нужно найти остаток от деления выражения $12k + 8$ на $6$. Мы можем представить это выражение в виде, удобном для определения остатка. Слагаемое $12k$ очевидно делится на $6$ без остатка, так как $12k = 6 \cdot (2k)$. Слагаемое $8$ можно представить как $6 + 2$.

Подставим это в выражение для $2n$: $2n = 12k + (6 + 2)$ $2n = (12k + 6) + 2$

Вынесем общий множитель $6$ за скобки в выражении $(12k + 6)$: $2n = 6(2k + 1) + 2$

Полученное выражение $2n = 6(2k + 1) + 2$ является записью деления числа $2n$ на $6$ с остатком. Здесь $(2k + 1)$ — это новое неполное частное, а $2$ — это остаток, так как $0 \le 2 < 6$.

Ответ: 2

22. Чему равен остаток при делении на 7 значения выражения $(5n + 8) - (5 - 2n)$, где $n$ – любое натуральное число?

Для того чтобы найти остаток от деления значения выражения на 7, сначала упростим само выражение: $(5n + 8) - (5 - 2n)$.

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$(5n + 8) - (5 - 2n) = 5n + 8 - 5 + 2n$

Теперь приведем подобные слагаемые: сгруппируем члены с переменной $n$ и свободные члены (числа).

$(5n + 2n) + (8 - 5) = 7n + 3$

Таким образом, исходное выражение для любого натурального числа $n$ равно $7n + 3$.

Теперь нам необходимо найти остаток от деления полученного выражения $7n + 3$ на 7.

Рассмотрим полученное выражение как сумму двух слагаемых: $7n$ и $3$.

Первое слагаемое, $7n$, является произведением числа 7 и натурального числа $n$. По определению, такое число всегда делится на 7 без остатка (нацело). Таким образом, остаток от деления $7n$ на 7 равен 0.

Второе слагаемое — это число 3. При делении 3 на 7 частное равно 0, а остаток равен 3.

Остаток от деления суммы $(7n + 3)$ на 7 равен сумме остатков от деления каждого слагаемого на 7. В нашем случае это $0 + 3 = 3$.

Следовательно, остаток от деления выражения $7n + 3$ на 7 всегда будет равен 3, независимо от значения натурального числа $n$.

Ответ: 3

23. В каждом букете должно быть $3$ красные и $4$ белые розы. Какое наибольшее количество таких букетов можно составить из $36$ красных и $45$ белых роз?

Для того чтобы найти наибольшее количество букетов, которое можно составить, необходимо определить, какой из компонентов (красные или белые розы) закончится первым. Для этого рассчитаем, на какое количество букетов хватит роз каждого цвета по отдельности.

1. Сначала определим, сколько букетов можно составить из 36 красных роз. По условию, в каждом букете должно быть 3 красные розы.
Выполним деление:
$36 \div 3 = 12$
Следовательно, красных роз хватит ровно на 12 букетов.

2. Теперь определим, сколько букетов можно составить из 45 белых роз. По условию, в каждом букете должно быть 4 белые розы.
Выполним деление с остатком:
$45 \div 4 = 11$ (остаток 1)
Это означает, что из 45 белых роз можно составить 11 полных букетов, и еще 1 белая роза останется неиспользованной.

Чтобы составить букет, нужны и красные, и белые розы. Мы можем составить 12 букетов, если смотреть только на красные розы, и 11 букетов, если смотреть на белые. Количество букетов ограничено тем видом роз, которого хватает на меньшее их число. В данном случае это белые розы.
Таким образом, наибольшее количество букетов, которое можно составить, равно 11.

Ответ: 11.

24. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a$ – чётное, $b$ – нечётное. Значение какого из данных выражений обязательно является чётным числом:

1) $a^2 + 3$; 3) $\frac{ab}{2}$;

2) $b(a + b)$; 4) $\frac{a^2}{2}$?

По условию задачи, $a$ — натуральное чётное число, а $b$ — натуральное нечётное число. Проанализируем каждое из предложенных выражений, чтобы определить, какое из них обязательно будет чётным.

1) $a^2 + 3$

Поскольку $a$ — чётное число, его квадрат $a^2$ также является чётным (произведение чётного числа на чётное). Число $3$ является нечётным. Сумма чётного и нечётного чисел всегда даёт в результате нечётное число. Следовательно, значение выражения $a^2 + 3$ всегда будет нечётным. Например, если взять $a=2$, то $a^2 + 3 = 2^2 + 3 = 4 + 3 = 7$ (нечётное).

Ответ: не является обязательно чётным.

2) $b(a + b)$

Сначала рассмотрим сумму в скобках: $a + b$. Это сумма чётного числа ($a$) и нечётного числа ($b$), результат которой всегда нечётен. Далее, мы умножаем этот нечётный результат ($a+b$) на нечётное число $b$. Произведение двух нечётных чисел всегда является нечётным числом. Следовательно, значение выражения $b(a + b)$ всегда будет нечётным. Например, если взять $a=4$ и $b=3$, то $b(a+b) = 3(4+3) = 3 \times 7 = 21$ (нечётное).

Ответ: не является обязательно чётным.

3) $\frac{ab}{2}$

Произведение чётного числа $a$ и нечётного числа $b$ всегда является чётным. Однако, чтобы определить чётность частного $\frac{ab}{2}$, необходимо рассмотреть структуру числа $a$. Любое чётное число $a$ можно представить в виде $a=2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда выражение примет вид $\frac{(2k)b}{2} = kb$. Чётность этого результата зависит от чётности множителя $k$. Так как $b$ нечётное:

• Если $k$ — нечётное (например, для $a=2$, $k=1$), то произведение $kb$ будет нечётным (нечётное $\times$ нечётное).
• Если $k$ — чётное (например, для $a=4$, $k=2$), то произведение $kb$ будет чётным (чётное $\times$ нечётное).

Поскольку результат может быть как чётным, так и нечётным, это выражение не является обязательно чётным. Например:

• Если $a=2, b=5$, то $\frac{2 \times 5}{2} = 5$ (нечётное).
• Если $a=4, b=5$, то $\frac{4 \times 5}{2} = 10$ (чётное).

Ответ: не является обязательно чётным.

4) $\frac{a^2}{2}$

Так как $a$ — чётное число, представим его в виде $a=2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда квадрат этого числа $a^2 = (2k)^2 = 4k^2$. Подставим это в наше выражение: $\frac{a^2}{2} = \frac{4k^2}{2} = 2k^2$. Выражение $2k^2$ можно записать как $2 \times k^2$. Любое целое число, умноженное на $2$, по определению является чётным. Поскольку $k$ — натуральное число, $k^2$ — также натуральное число, и, следовательно, $2k^2$ всегда будет чётным числом. Например, если взять $a=6$, то $\frac{a^2}{2} = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$ (чётное).

Ответ: является обязательно чётным.

25. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a$ – чётное, $b$ – нечётное. Какое из данных равенств возможно:

1) $\frac{a+1}{b-1}=1$;

2) $ab=25$;

3) $\frac{a}{b}=2$;

4) $\frac{b}{a}=4$?

По условию задачи, $a$ — чётное натуральное число, а $b$ — нечётное натуральное число. Проанализируем каждое из предложенных равенств, используя свойства чётности чисел.

1) $\frac{a+1}{b-1} = 1$

Из этого равенства следует, что числитель равен знаменателю: $a+1 = b-1$. Это возможно только если знаменатель не равен нулю, то есть $b \neq 1$. Выразим $a$ из этого равенства: $a = b-2$.
Поскольку $b$ — нечётное число, то разность $b-2$ (разность нечётного и чётного чисел) также является нечётным числом. Таким образом, мы получаем, что $a$ должно быть нечётным. Это противоречит исходному условию, что $a$ — чётное.
Если $b=1$, то знаменатель обращается в ноль, и деление невозможно. Следовательно, данное равенство невозможно.

Ответ: невозможно.

2) $ab = 25$

Произведение чётного числа ($a$) на любое целое число (в данном случае на нечётное $b$) всегда является чётным числом. Это можно показать формально: если $a=2k$ для некоторого натурального $k$, то $ab = (2k)b = 2(kb)$, что очевидно делится на 2.
Число 25 является нечётным. Равенство между чётным числом ($ab$) и нечётным числом (25) невозможно.

Ответ: невозможно.

3) $\frac{a}{b} = 2$

Из этого равенства следует, что $a = 2b$.
Поскольку $b$ — нечётное число, то произведение $2b$ является чётным числом. Это означает, что $a$ — чётное, что полностью соответствует условию задачи.
Мы можем привести пример, чтобы подтвердить возможность: пусть нечётное натуральное число $b=3$. Тогда чётное натуральное число $a = 2 \cdot 3 = 6$. Эти значения удовлетворяют всем условиям, и равенство $\frac{6}{3}=2$ выполняется. Следовательно, данное равенство возможно.

Ответ: возможно.

4) $\frac{b}{a} = 4$

Из этого равенства следует, что $b = 4a$.
Поскольку $a$ — натуральное число, то произведение $4a$ всегда является чётным числом (так как $4a = 2(2a)$). Это означает, что $b$ должно быть чётным числом. Однако это противоречит исходному условию, что $b$ — нечётное.

Ответ: невозможно.

26. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a$ — чётное, $b$ — нечётное. Значение какого из данных выражений не может быть натуральным числом:

1) $\frac{4b}{3a}$;

2) $\frac{2a}{b}$;

3) $\frac{a^2}{b^2}$;

4) $\frac{b^2}{a}$?

По условию задачи, $a$ — натуральное чётное число, а $b$ — натуральное нечётное число. Проанализируем каждое из предложенных выражений, чтобы определить, какое из них не может быть натуральным числом.

1) $\frac{4b}{3a}$

Чтобы это выражение было натуральным числом, необходимо, чтобы нашлись такие натуральные значения $a$ (чётное) и $b$ (нечётное), при которых числитель $4b$ делится нацело на знаменатель $3a$. Попробуем подобрать пример. Пусть $a = 2$ (чётное) и $b = 3$ (нечётное). Подставим эти значения в выражение: $\frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{12}{6} = 2$. Поскольку результат, 2, является натуральным числом, данное выражение может быть натуральным.
Ответ: может быть натуральным числом.

2) $\frac{2a}{b}$

Проверим, может ли это выражение быть натуральным. Для этого нужно, чтобы $b$ делило $2a$. Пусть $a = 4$ (чётное) и $b = 1$ (нечётное). Подставим значения: $\frac{2 \cdot 4}{1} = 8$. Поскольку результат, 8, является натуральным числом, данное выражение может быть натуральным.
Ответ: может быть натуральным числом.

3) $\frac{a^2}{b^2}$

Это выражение будет натуральным, если $a^2$ делится нацело на $b^2$. Это возможно, если $a$ делится нацело на $b$. Подберем пример. Пусть $b = 3$ (нечётное), а $a = 6$ (чётное и кратное 3). Подставим значения: $\frac{6^2}{3^2} = \frac{36}{9} = 4$. Поскольку результат, 4, является натуральным числом, данное выражение может быть натуральным.
Ответ: может быть натуральным числом.

4) $\frac{b^2}{a}$

Рассмотрим свойства чётности чисел в этом выражении. По условию, $b$ — нечётное число. Квадрат нечётного числа ($b^2 = b \cdot b$) всегда является нечётным числом. По условию, $a$ — чётное число. Таким образом, мы имеем дробь вида $\frac{нечётное}{чётное}$.

Предположим, что эта дробь равна некоторому натуральному числу $N$. Тогда должно выполняться равенство $\frac{b^2}{a} = N$, что эквивалентно $b^2 = N \cdot a$. В левой части этого равенства стоит нечётное число ($b^2$). В правой части стоит произведение $N \cdot a$. Так как $a$ — чётное, произведение любого натурального числа $N$ на $a$ всегда будет чётным числом. Мы получили противоречие: $нечётное\:число = чётное\:число$. Такое равенство невозможно. Следовательно, значение выражения $\frac{b^2}{a}$ не может быть натуральным числом.
Ответ: не может быть натуральным числом.

27. Сколько натуральных делителей имеет произведение двух различных простых чисел?

Пусть даны два различных простых числа, обозначим их как $p$ и $q$. По условию, $p \neq q$.

Их произведение — это число $N = p \cdot q$. Необходимо найти количество всех натуральных делителей числа $N$.

Поскольку $p$ и $q$ являются простыми числами, их единственными простыми множителями являются они сами. Следовательно, каноническое разложение числа $N$ на простые множители уже представлено в виде $N = p^1 \cdot q^1$.

Любой натуральный делитель числа $N$ должен состоять из произведения тех же простых множителей, но в степенях, не превышающих их степени в разложении числа $N$. Таким образом, любой делитель $d$ числа $N$ имеет вид $d = p^a \cdot q^b$, где $a$ может принимать значения 0 или 1, и $b$ также может принимать значения 0 или 1.

Перечислим все возможные комбинации степеней $a$ и $b$ и соответствующие им делители:

1. При $a=0, b=0$ делитель равен $p^0 \cdot q^0 = 1 \cdot 1 = 1$.

2. При $a=1, b=0$ делитель равен $p^1 \cdot q^0 = p \cdot 1 = p$.

3. При $a=0, b=1$ делитель равен $p^0 \cdot q^1 = 1 \cdot q = q$.

4. При $a=1, b=1$ делитель равен $p^1 \cdot q^1 = p \cdot q$.

Так как $p$ и $q$ — различные простые числа (оба больше 1), все четыре полученных делителя ($1, p, q, p \cdot q$) различны. Таким образом, мы получили ровно четыре натуральных делителя.

Этот результат можно также получить с помощью общей формулы для числа делителей. Если натуральное число $N$ имеет каноническое разложение $N = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \dots \cdot p_m^{k_m}$, то общее число его натуральных делителей, обозначаемое как $\tau(N)$, вычисляется по формуле:

$\tau(N) = (k_1 + 1)(k_2 + 1)\dots(k_m + 1)$

Для нашего числа $N = p^1 \cdot q^1$ показатели степеней равны $k_1 = 1$ и $k_2 = 1$. Подставив эти значения в формулу, получаем:

$\tau(N) = (1 + 1)(1 + 1) = 2 \cdot 2 = 4$.

Пример:

Возьмем два различных простых числа, например, 3 и 5. Их произведение равно $3 \cdot 5 = 15$. Натуральными делителями числа 15 являются 1, 3, 5, 15. Их количество равно 4.

Ответ: 4

28. Какую одну и ту же цифру надо приписать слева и справа к числу 25, чтобы полученное число было кратным 6?

Пусть искомая цифра — это x. Когда мы приписываем эту цифру слева и справа к числу 25, мы получаем четырехзначное число, которое можно записать как $\overline{x25x}$.

Поскольку x — это первая цифра числа, она не может быть нулем. Таким образом, x может быть любой цифрой от 1 до 9, то есть $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Согласно условию, число $\overline{x25x}$ должно быть кратно 6. Для того чтобы число было кратно 6, оно должно одновременно делиться на 2 и на 3. Рассмотрим оба признака делимости.

Признак делимости на 2

Число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра является четной. В нашем случае последняя цифра числа $\overline{x25x}$ — это x. Следовательно, x должна быть четной цифрой. Это сужает наш поиск до следующих вариантов: $x \in \{2, 4, 6, 8\}$.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3. Найдем сумму цифр числа $\overline{x25x}$: $S = x + 2 + 5 + x = 2x + 7$.

Теперь нам нужно проверить, для каких из найденных возможных значений x (2, 4, 6, 8) сумма $2x + 7$ будет кратна 3.

- Если $x = 2$, то сумма цифр $S = 2 \cdot 2 + 7 = 11$. Число 11 не делится на 3.

- Если $x = 4$, то сумма цифр $S = 2 \cdot 4 + 7 = 15$. Число 15 делится на 3, так как $15 \div 3 = 5$. Этот вариант подходит.

- Если $x = 6$, то сумма цифр $S = 2 \cdot 6 + 7 = 19$. Число 19 не делится на 3.

- Если $x = 8$, то сумма цифр $S = 2 \cdot 8 + 7 = 23$. Число 23 не делится на 3.

Таким образом, единственная цифра, удовлетворяющая всем условиям, — это 4. Если мы припишем цифру 4 слева и справа к числу 25, мы получим число 4254. Это число является четным (делится на 2) и сумма его цифр $4+2+5+4=15$ делится на 3. Следовательно, число 4254 делится на 6.

Ответ: 4