Страница 213 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

41. Вычислите значение выражения:

1) $\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 10}$;

2) $\frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{3}{26 \cdot 29}$.

1) Для вычисления значения данного выражения воспользуемся методом, основанным на представлении каждой дроби в виде разности. Заметим, что для любого натурального $n$ справедливо тождество: $ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $.
Применим это свойство к каждому слагаемому нашей суммы:
$ \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $
$ \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $
$ \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $
...
$ \frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} $
Теперь запишем всю сумму в развернутом виде:
$ (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) $
Такая сумма называется телескопической. В ней все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются ($-\frac{1}{3}$ и $+\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{4}$ и $+\frac{1}{4}$ и т.д.). В результате остаются только первый и последний члены:
$ \frac{1}{2} - \frac{1}{10} $
Вычислим полученное значение:
$ \frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{5}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $.

Ответ: $ \frac{2}{5} $.

2) Это выражение также можно вычислить с помощью телескопической суммы. Рассмотрим общий вид слагаемого $ \frac{3}{n(n+k)} $. В нашем случае множители в знаменателе ($2, 5, 8, \dots, 29$) образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=3$.
Представим каждое слагаемое в виде разности. Заметим, что $ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} = \frac{(n+3) - n}{n(n+3)} = \frac{3}{n(n+3)} $.
Следовательно, мы можем использовать тождество $ \frac{3}{n(n+3)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} $ для каждого члена суммы.
Применим это тождество:
$ \frac{3}{2 \cdot 5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} $
$ \frac{3}{5 \cdot 8} = \frac{1}{5} - \frac{1}{8} $
$ \frac{3}{8 \cdot 11} = \frac{1}{8} - \frac{1}{11} $
...
$ \frac{3}{26 \cdot 29} = \frac{1}{26} - \frac{1}{29} $
Запишем исходное выражение в новом виде:
$ (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{11}) + \dots + (\frac{1}{26} - \frac{1}{29}) $
Здесь, как и в предыдущем примере, все промежуточные члены сокращаются. Остаются только первый и последний члены:
$ \frac{1}{2} - \frac{1}{29} $
Выполним вычитание:
$ \frac{1}{2} - \frac{1}{29} = \frac{29}{58} - \frac{2}{58} = \frac{27}{58} $.

Ответ: $ \frac{27}{58} $.

42. Докажите, что:

1) $\frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \frac{1}{19} + \dots + \frac{1}{24} > \frac{1}{3}$

2) $\frac{1}{28} + \frac{1}{29} + \frac{1}{30} + \dots + \frac{1}{36} > \frac{1}{4}$

1) Для доказательства неравенства $\frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \frac{1}{19} + \dots + \frac{1}{24} > \frac{1}{3}$ воспользуемся методом оценки. Сумма в левой части состоит из $24 - 17 + 1 = 8$ слагаемых.

Наименьшее слагаемое в этой сумме — это $\frac{1}{24}$. Каждое из остальных слагаемых больше, чем $\frac{1}{24}$. Например, $\frac{1}{17} > \frac{1}{24}$, $\frac{1}{18} > \frac{1}{24}$ и так далее.

Заменим каждое из восьми слагаемых на наименьшее из них, то есть на $\frac{1}{24}$. Поскольку мы заменяем семь слагаемых на строго меньшие значения, а одно оставляем без изменения, то исходная сумма будет строго больше новой суммы:

$\frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \frac{1}{19} + \dots + \frac{1}{24} > \underbrace{\frac{1}{24} + \frac{1}{24} + \dots + \frac{1}{24}}_{\text{8 раз}}$

Вычислим сумму в правой части неравенства: $8 \cdot \frac{1}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, мы доказали, что $\frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \frac{1}{19} + \dots + \frac{1}{24} > \frac{1}{3}$.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) Для доказательства неравенства $\frac{1}{28} + \frac{1}{29} + \frac{1}{30} + \dots + \frac{1}{36} > \frac{1}{4}$ применим тот же метод оценки. Сумма в левой части содержит $36 - 28 + 1 = 9$ слагаемых.

Наименьшим слагаемым в этой сумме является $\frac{1}{36}$. Все остальные слагаемые больше этого значения (например, $\frac{1}{28} > \frac{1}{36}$).

Заменим каждое из девяти слагаемых на наименьшее из них — на $\frac{1}{36}$. Так как восемь слагаемых заменяются на строго меньшие значения, исходная сумма будет строго больше, чем новая сумма:

$\frac{1}{28} + \frac{1}{29} + \frac{1}{30} + \dots + \frac{1}{36} > \underbrace{\frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \dots + \frac{1}{36}}_{\text{9 раз}}$

Вычислим сумму справа: $9 \cdot \frac{1}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

Следовательно, мы доказали, что $\frac{1}{28} + \frac{1}{29} + \frac{1}{30} + \dots + \frac{1}{36} > \frac{1}{4}$.

Ответ: что и требовалось доказать.

43. Вычислите значение выражения:

1) $(\frac{13}{18} - \frac{5}{9}) \cdot \frac{3}{20}$;

2) $\frac{13}{18} - \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{20}$;

3) $1\frac{3}{25} \cdot 2\frac{1}{7} - 1\frac{8}{9} \cdot \frac{27}{170}$;

4) $(9 - 2\frac{1}{7} \cdot 3\frac{1}{9}) \cdot \frac{27}{35}$;

5) $(5\frac{1}{16} - 1\frac{1}{8})(\frac{5}{6} - \frac{1}{14})$;

6) $2\frac{4}{9} : (\frac{5}{12} - \frac{1}{9})$;

7) $(-5,16 + 5,02) \cdot (2,5 - 4)$;

8) $\frac{5}{32} : \frac{5}{12} - 3\frac{1}{4} : 1\frac{2}{11}$;

9) $(7 - 1\frac{5}{9} : \frac{7}{24}) : (-\frac{25}{36})$;

10) $(28,9 : (-\frac{17}{20}) - 2,08 : (-\frac{1}{25})) : (-1\frac{2}{7})$.

1) $(\frac{13}{18} - \frac{5}{9}) \cdot \frac{3}{20}$
Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 18.
$\frac{13}{18} - \frac{5}{9} = \frac{13}{18} - \frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{13}{18} - \frac{10}{18} = \frac{13-10}{18} = \frac{3}{18}$
Сократим полученную дробь: $\frac{3}{18} = \frac{1}{6}$.
Теперь выполним умножение:
$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{20} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 20} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}$.
Ответ: $\frac{1}{40}$.

2) $\frac{13}{18} - \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{20}$
Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение.
$\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{20} = \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 20} = \frac{15}{180}$.
Сократим дробь, разложив на множители: $\frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{1}{12}$.
Теперь выполним вычитание:
$\frac{13}{18} - \frac{1}{12}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 36.
$\frac{13 \cdot 2}{18 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{26}{36} - \frac{3}{36} = \frac{23}{36}$.
Ответ: $\frac{23}{36}$.

3) $1\frac{3}{25} \cdot 2\frac{1}{7} - 1\frac{8}{9} \cdot \frac{27}{170}$
Выполним первое умножение. Переведем смешанные числа в неправильные дроби.
$1\frac{3}{25} = \frac{28}{25}$; $2\frac{1}{7} = \frac{15}{7}$.
$\frac{28}{25} \cdot \frac{15}{7} = \frac{28 \cdot 15}{25 \cdot 7} = \frac{4 \cdot \cancel{7} \cdot 3 \cdot \cancel{5}}{5 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{7}} = \frac{12}{5}$.
Выполним второе умножение. Переведем смешанное число в неправильную дробь.
$1\frac{8}{9} = \frac{17}{9}$.
$\frac{17}{9} \cdot \frac{27}{170} = \frac{17 \cdot 27}{9 \cdot 170} = \frac{\cancel{17} \cdot \cancel{27}^3}{\cancel{9} \cdot \cancel{170}_{10}} = \frac{3}{10}$.
Теперь выполним вычитание:
$\frac{12}{5} - \frac{3}{10} = \frac{24}{10} - \frac{3}{10} = \frac{21}{10} = 2,1$.
Ответ: $2,1$.

4) $(9 - 2\frac{1}{7} \cdot 3\frac{1}{9}) \cdot \frac{27}{35}$
Сначала выполним умножение в скобках. Переведем смешанные числа в неправильные дроби.
$2\frac{1}{7} = \frac{15}{7}$; $3\frac{1}{9} = \frac{28}{9}$.
$\frac{15}{7} \cdot \frac{28}{9} = \frac{15 \cdot 28}{7 \cdot 9} = \frac{\cancel{3} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot \cancel{3} \cdot 3} = \frac{20}{3}$.
Теперь выполним вычитание в скобках:
$9 - \frac{20}{3} = \frac{27}{3} - \frac{20}{3} = \frac{7}{3}$.
Наконец, выполним умножение:
$\frac{7}{3} \cdot \frac{27}{35} = \frac{7 \cdot 27}{3 \cdot 35} = \frac{\cancel{7} \cdot \cancel{27}^9}{\cancel{3} \cdot \cancel{35}_5} = \frac{9}{5} = 1,8$.
Ответ: $1,8$.

5) $(5\frac{1}{16} - 1\frac{1}{8})(\frac{5}{6} - \frac{1}{14})$
Вычислим значение в первой скобке:
$5\frac{1}{16} - 1\frac{1}{8} = 5\frac{1}{16} - 1\frac{2}{16} = 4\frac{17}{16} - 1\frac{2}{16} = 3\frac{15}{16}$.
Вычислим значение во второй скобке. Общий знаменатель для 6 и 14 - это 42.
$\frac{5}{6} - \frac{1}{14} = \frac{5 \cdot 7}{42} - \frac{1 \cdot 3}{42} = \frac{35-3}{42} = \frac{32}{42} = \frac{16}{21}$.
Теперь перемножим результаты. Переведем смешанное число в неправильную дробь.
$3\frac{15}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 15}{16} = \frac{63}{16}$.
$\frac{63}{16} \cdot \frac{16}{21} = \frac{63 \cdot 16}{16 \cdot 21} = \frac{63}{21} = 3$.
Ответ: $3$.

6) $2\frac{4}{9} : (\frac{5}{12} - \frac{1}{9})$
Сначала выполним действие в скобках. Общий знаменатель для 12 и 9 - это 36.
$\frac{5}{12} - \frac{1}{9} = \frac{5 \cdot 3}{36} - \frac{1 \cdot 4}{36} = \frac{15-4}{36} = \frac{11}{36}$.
Теперь выполним деление. Переведем смешанное число в неправильную дробь.
$2\frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{22}{9}$.
$ \frac{22}{9} : \frac{11}{36} = \frac{22}{9} \cdot \frac{36}{11} = \frac{22 \cdot 36}{9 \cdot 11} = \frac{\cancel{22}^2 \cdot \cancel{36}^4}{\cancel{9} \cdot \cancel{11}} = 2 \cdot 4 = 8$.
Ответ: $8$.

7) $(-5,16 + 5,02) \cdot (2,5 - 4)$
Вычислим значение в первой скобке:
$-5,16 + 5,02 = -(5,16 - 5,02) = -0,14$.
Вычислим значение во второй скобке:
$2,5 - 4 = -1,5$.
Теперь перемножим результаты:
$(-0,14) \cdot (-1,5) = 0,14 \cdot 1,5 = 0,21$.
Ответ: $0,21$.

8) $\frac{5}{32} : \frac{5}{12} - 3\frac{1}{4} : 1\frac{2}{11}$
Выполним первое деление:
$\frac{5}{32} : \frac{5}{12} = \frac{5}{32} \cdot \frac{12}{5} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$.
Выполним второе деление. Переведем смешанные числа в неправильные дроби.
$3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}$; $1\frac{2}{11} = \frac{13}{11}$.
$\frac{13}{4} : \frac{13}{11} = \frac{13}{4} \cdot \frac{11}{13} = \frac{11}{4}$.
Теперь выполним вычитание:
$\frac{3}{8} - \frac{11}{4} = \frac{3}{8} - \frac{22}{8} = \frac{3 - 22}{8} = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} = -2,375$.
Ответ: $-2,375$.

9) $(7 - 1\frac{5}{9} : \frac{7}{24}) : (-\frac{25}{36})$
Сначала выполним деление в скобках. Переведем смешанное число в неправильную дробь.
$1\frac{5}{9} = \frac{14}{9}$.
$\frac{14}{9} : \frac{7}{24} = \frac{14}{9} \cdot \frac{24}{7} = \frac{14 \cdot 24}{9 \cdot 7} = \frac{\cancel{14}^2 \cdot \cancel{24}^8}{\cancel{9}_3 \cdot \cancel{7}} = \frac{16}{3}$.
Теперь выполним вычитание в скобках:
$7 - \frac{16}{3} = \frac{21}{3} - \frac{16}{3} = \frac{5}{3}$.
Наконец, выполним деление на дробь за скобками:
$\frac{5}{3} : (-\frac{25}{36}) = \frac{5}{3} \cdot (-\frac{36}{25}) = - \frac{5 \cdot 36}{3 \cdot 25} = - \frac{\cancel{5} \cdot \cancel{36}^{12}}{\cancel{3} \cdot \cancel{25}_5} = -\frac{12}{5} = -2,4$.
Ответ: $-2,4$.

10) $(28,9 : (-\frac{17}{20}) - 2,08 : (-\frac{1}{25})) : (-1\frac{2}{7})$
Выполним первое деление в скобках. Переведем $28,9$ в дробь: $28,9 = \frac{289}{10}$.
$28,9 : (-\frac{17}{20}) = \frac{289}{10} \cdot (-\frac{20}{17}) = -\frac{289 \cdot 20}{10 \cdot 17} = -\frac{\cancel{289}^{17} \cdot \cancel{20}^2}{\cancel{10} \cdot \cancel{17}} = -34$.
Выполним второе деление в скобках. Переведем $2,08$ в дробь: $2,08 = \frac{208}{100} = \frac{52}{25}$.
$2,08 : (-\frac{1}{25}) = \frac{52}{25} \cdot (-25) = -52$.
Выполним вычитание в скобках:
$(-34) - (-52) = -34 + 52 = 18$.
Теперь разделим результат на $-1\frac{2}{7}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{2}{7} = -\frac{9}{7}$.
$18 : (-\frac{9}{7}) = 18 \cdot (-\frac{7}{9}) = - \frac{18 \cdot 7}{9} = -2 \cdot 7 = -14$.
Ответ: $-14$.

44. Какую из данных десятичных дробей нельзя преобразовать в конечную десятичную дробь:

1) $\frac{11}{16}$;

2) $\frac{24}{600}$;

3) $\frac{5}{12}$;

4) $\frac{18}{125}$?

Для того чтобы обыкновенную дробь можно было преобразовать в конечную десятичную, необходимо и достаточно, чтобы в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители не было других множителей, кроме 2 и 5. Проанализируем каждую из предложенных дробей.

1) $\frac{11}{16}$

Данная дробь является несократимой. Разложим ее знаменатель на простые множители: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$. Поскольку в разложении знаменателя присутствует только множитель 2, эту дробь можно преобразовать в конечную десятичную.

2) $\frac{24}{600}$

Сначала сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для числителя и знаменателя равен 24. $\frac{24}{600} = \frac{24 \div 24}{600 \div 24} = \frac{1}{25}$. Разложим знаменатель полученной несократимой дроби на простые множители: $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$. Поскольку в разложении знаменателя присутствует только множитель 5, эту дробь можно преобразовать в конечную десятичную.

3) $\frac{5}{12}$

Данная дробь является несократимой. Разложим ее знаменатель на простые множители: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. Поскольку в разложении знаменателя присутствует множитель 3, который отличен от 2 и 5, эту дробь нельзя преобразовать в конечную десятичную. Она будет представлена в виде бесконечной периодической дроби ($0,41(6)$).

4) $\frac{18}{125}$

Данная дробь является несократимой, так как $18 = 2 \cdot 3^2$, а $125 = 5^3$, и у них нет общих простых множителей. Разложим знаменатель на простые множители: $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$. Поскольку в разложении знаменателя присутствует только множитель 5, эту дробь можно преобразовать в конечную десятичную.

Таким образом, единственная дробь из предложенного списка, которую нельзя преобразовать в конечную десятичную дробь, это $\frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$.

45. Чему равно значение выражения $(1 - 2) - (3 - 4) - (5 - 6) - \dots - (99 - 100)?$

Для нахождения значения выражения $(1 - 2) - (3 - 4) - (5 - 6) - \dots - (99 - 100)$ проанализируем его структуру.

Выражение состоит из ряда вычитаемых друг из друга слагаемых, каждое из которых заключено в скобки. Заметим, что значение в каждой скобке одинаково, так как из меньшего числа вычитается следующее за ним целое число:
$(1 - 2) = -1$
$(3 - 4) = -1$
$(5 - 6) = -1$
...
$(99 - 100) = -1$

Теперь определим количество таких слагаемых (скобок). В выражении используются все целые числа от 1 до 100. Они сгруппированы в пары, следовательно, общее количество скобок равно $100 / 2 = 50$.

Зная это, мы можем переписать исходное выражение. Первое слагаемое равно $(1-2) = -1$. Все последующие 49 слагаемых, также равных $-1$, вычитаются из него. Таким образом, выражение принимает вид:
$(-1) - (-1) - (-1) - \dots - (-1)$
где всего 50 членов, равных $-1$.

Вычитание отрицательного числа эквивалентно прибавлению положительного (правило $a - (-b) = a + b$). Применив это правило ко всем вычитаемым членам, получим:
$-1 + 1 + 1 + \dots + 1$

В этой сумме первое слагаемое равно $-1$, а за ним следуют 49 слагаемых, равных $1$. Вычислим результат:
$-1 + (49 \times 1) = -1 + 49 = 48$.

Можно прийти к тому же результату, если сначала раскрыть все скобки: $1 - 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - \dots - 99 + 100$. Сгруппировав слагаемые как $(1-2)+(-3+4)+(-5+6)+\dots+(-99+100)$, получим сумму $-1+1+1+\dots+1$, где единиц будет 49 штук, что также дает в итоге 48.

Ответ: 48

46. Число a – положительное, а число b – отрицательное. Значение которого из данных выражений наибольшее:

1) $\frac{a^2}{b^2};$

2) $-\frac{a}{b^2};$

3) $\frac{a^2}{b};$

4) $\frac{b}{a}?$

По условию задачи, число $a$ — положительное ($a > 0$), а число $b$ — отрицательное ($b < 0$). Чтобы найти выражение с наибольшим значением, определим знак каждого из предложенных выражений.

1) $\frac{a^2}{b^2}$

Поскольку $a$ — положительное число, его квадрат $a^2$ также будет положительным ($a^2 > 0$).
Поскольку $b$ — отрицательное число, его квадрат $b^2$ будет положительным ($b^2 > 0$).
Частное двух положительных чисел является положительным числом. Следовательно, значение выражения $\frac{a^2}{b^2}$ будет положительным.

2) $-\frac{a}{b^2}$

Мы знаем, что $a > 0$ и $b^2 > 0$. Значит, дробь $\frac{a}{b^2}$ положительна.
Знак "минус" перед дробью делает все выражение отрицательным. Следовательно, значение выражения $-\frac{a}{b^2}$ будет отрицательным.

3) $\frac{a^2}{b}$

Мы знаем, что $a^2 > 0$, а по условию $b < 0$.
Частное положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом. Следовательно, значение выражения $\frac{a^2}{b}$ будет отрицательным.

4) $\frac{b}{a}$

По условию $b < 0$ и $a > 0$.
Частное отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом. Следовательно, значение выражения $\frac{b}{a}$ будет отрицательным.

Сравнивая результаты, мы видим, что только выражение в пункте 1) является положительным, в то время как выражения в пунктах 2), 3) и 4) являются отрицательными. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Таким образом, выражение $\frac{a^2}{b^2}$ имеет наибольшее значение.

Ответ: 1

47. Сумма 1000 натуральных чисел равна 1001. Чему равно их произведение?

Обозначим 1000 натуральных чисел как $n_1, n_2, \ldots, n_{1000}$.

Поскольку числа являются натуральными, каждое из них должно быть не меньше 1. То есть, $n_i \ge 1$ для любого $i$ от 1 до 1000.

Сумма этих 1000 чисел по условию равна 1001:

Мы можем представить каждое натуральное число $n_i$ в виде $n_i = 1 + d_i$, где $d_i$ — это целое неотрицательное число ($d_i \ge 0$). Подставим это в уравнение суммы:

Сгруппировав единицы и слагаемые $d_i$, получим:

Вычитая 1000 из обеих частей, находим сумму "излишков" $d_i$:

Поскольку все $d_i$ являются целыми и неотрицательными числами, единственное возможное решение этого уравнения — это когда одно из слагаемых $d_i$ равно 1, а все остальные 999 слагаемых равны 0.

Это означает, что для одного из чисел (скажем, $n_k$) соответствующее $d_k=1$, и тогда $n_k = 1+1=2$. Для всех остальных 999 чисел соответствующие $d_i=0$, и тогда $n_i = 1+0=1$.

Таким образом, набор чисел однозначно определен: он состоит из 999 единиц и одной двойки.

Теперь найдем произведение этих чисел:

Ответ: 2

48. Из чисел -8, -7, -4, 3, 6, 5, 9 выбрали два числа и нашли их произведение. Какое наибольшее значение может принимать это произведение?

Для того чтобы найти наибольшее возможное произведение двух чисел из заданного набора $\{-8, -7, -4, 3, 6, 5, 9\}$, необходимо рассмотреть случаи, которые могут дать максимальный результат. Произведение двух чисел будет положительным (а значит, потенциально большим), если оба числа положительные или оба отрицательные. Произведение положительного и отрицательного числа всегда будет отрицательным, а любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому этот случай можно не рассматривать для поиска наибольшего значения.

Рассмотрим два основных случая:

1. Произведение двух положительных чисел. Чтобы получить максимальное произведение, нужно выбрать два самых больших положительных числа из набора. Положительные числа в данном наборе: $3, 5, 6, 9$. Два наибольших из них — это $9$ и $6$. Найдем их произведение:$9 \times 6 = 54$

2. Произведение двух отрицательных чисел. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Чтобы это положительное число было как можно большим, нужно перемножить два отрицательных числа с наибольшими модулями (абсолютными значениями). Отрицательные числа в наборе: $-8, -7, -4$. Два отрицательных числа с наибольшими модулями — это $-8$ и $-7$. Найдем их произведение:$(-8) \times (-7) = 56$

Теперь сравним результаты, полученные в этих двух случаях: $54$ и $56$. Наибольшим значением является $56$.

Ответ: $56$

49. Числа $a$ и $b$ таковы, что $a > 0, b < 0$. Какое из данных выражений может принимать отрицательные значения:

1) $a-b$;

2) $|a+b|$;

3) $a^3b^2$;

4) $a+b$?

Проанализируем каждое из предложенных выражений, исходя из условий, что $a$ — положительное число ($a > 0$), а $b$ — отрицательное число ($b < 0$).

1) $a - b$

Поскольку $b$ — отрицательное число ($b < 0$), то $-b$ — положительное число ($-b > 0$). Выражение $a - b$ является суммой двух положительных чисел, $a$ и $(-b)$, и, следовательно, всегда будет положительным.
Ответ: выражение всегда положительно.

2) $|a + b|$

Это выражение — модуль (абсолютное значение) числа. По определению, модуль любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $|a + b| \ge 0$. Выражение не может принимать отрицательные значения.
Ответ: выражение всегда неотрицательно.

3) $a^3b^2$

Рассмотрим знаки множителей. Так как $a > 0$, то и $a^3 > 0$. Так как $b < 0$, то $b^2 > 0$ (квадрат любого ненулевого числа положителен). Произведение двух положительных чисел ($a^3$ и $b^2$) всегда положительно.
Ответ: выражение всегда положительно.

4) $a + b$

Это сумма положительного числа $a$ и отрицательного числа $b$. Знак суммы зависит от абсолютных величин слагаемых. Если абсолютная величина отрицательного числа $b$ будет больше, чем положительное число $a$ (то есть $|b| > a$), то сумма будет отрицательной. Например, если $a=3$ и $b=-10$, то $a+b = 3+(-10) = -7$. Таким образом, это выражение может принимать отрицательные значения.
Ответ: выражение может принимать отрицательные значения.

50. Числа $a$ и $b$ таковы, что $a+b < a$. Какое из утверждений верно:

1) $b > 0$;

2) $b < 0$;

3) $b = 0$;

4) $b \geq 0$?

Нам дано неравенство $a + b < a$. Наша задача — определить знак числа $b$, исходя из этого условия.

Для того чтобы найти, каким может быть число $b$, мы можем упростить данное неравенство. Воспользуемся свойством неравенств, которое гласит, что если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство.

Вычтем из левой и правой частей неравенства число $a$:

$(a + b) - a < a - a$

После упрощения в левой части остается $b$, а в правой — $0$. Таким образом, мы получаем:

$b < 0$

Этот результат означает, что число $b$ должно быть строго отрицательным.

Теперь проанализируем предложенные варианты утверждений:

1) $b > 0$: Это утверждение противоречит нашему выводу $b < 0$. Следовательно, оно неверно.

2) $b < 0$: Это утверждение в точности совпадает с полученным нами результатом. Следовательно, оно верно.

3) $b = 0$: Это утверждение неверно. Если подставить $b = 0$ в исходное неравенство, получим $a + 0 < a$, что равносильно $a < a$. Это неравенство является ложным при любом значении $a$.

4) $b \ge 0$: Это утверждение неверно, так как оно объединяет два неверных случая: $b > 0$ и $b = 0$.

Ответ: 2) $b < 0$