Номер 45, страница 213 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные числа и действия с ними. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 45, страница 213.

45. Чему равно значение выражения $(1 - 2) - (3 - 4) - (5 - 6) - \dots - (99 - 100)?$

Для нахождения значения выражения $(1 - 2) - (3 - 4) - (5 - 6) - \dots - (99 - 100)$ проанализируем его структуру.

Выражение состоит из ряда вычитаемых друг из друга слагаемых, каждое из которых заключено в скобки. Заметим, что значение в каждой скобке одинаково, так как из меньшего числа вычитается следующее за ним целое число:
$(1 - 2) = -1$
$(3 - 4) = -1$
$(5 - 6) = -1$
...
$(99 - 100) = -1$

Теперь определим количество таких слагаемых (скобок). В выражении используются все целые числа от 1 до 100. Они сгруппированы в пары, следовательно, общее количество скобок равно $100 / 2 = 50$.

Зная это, мы можем переписать исходное выражение. Первое слагаемое равно $(1-2) = -1$. Все последующие 49 слагаемых, также равных $-1$, вычитаются из него. Таким образом, выражение принимает вид:
$(-1) - (-1) - (-1) - \dots - (-1)$
где всего 50 членов, равных $-1$.

Вычитание отрицательного числа эквивалентно прибавлению положительного (правило $a - (-b) = a + b$). Применив это правило ко всем вычитаемым членам, получим:
$-1 + 1 + 1 + \dots + 1$

В этой сумме первое слагаемое равно $-1$, а за ним следуют 49 слагаемых, равных $1$. Вычислим результат:
$-1 + (49 \times 1) = -1 + 49 = 48$.

Можно прийти к тому же результату, если сначала раскрыть все скобки: $1 - 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - \dots - 99 + 100$. Сгруппировав слагаемые как $(1-2)+(-3+4)+(-5+6)+\dots+(-99+100)$, получим сумму $-1+1+1+\dots+1$, где единиц будет 49 штук, что также дает в итоге 48.

Ответ: 48