Номер 42, страница 213 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные числа и действия с ними. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 42, страница 213.

42. Докажите, что:

1) $\frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \frac{1}{19} + \dots + \frac{1}{24} > \frac{1}{3}$

2) $\frac{1}{28} + \frac{1}{29} + \frac{1}{30} + \dots + \frac{1}{36} > \frac{1}{4}$

1) Для доказательства неравенства $\frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \frac{1}{19} + \dots + \frac{1}{24} > \frac{1}{3}$ воспользуемся методом оценки. Сумма в левой части состоит из $24 - 17 + 1 = 8$ слагаемых.

Наименьшее слагаемое в этой сумме — это $\frac{1}{24}$. Каждое из остальных слагаемых больше, чем $\frac{1}{24}$. Например, $\frac{1}{17} > \frac{1}{24}$, $\frac{1}{18} > \frac{1}{24}$ и так далее.

Заменим каждое из восьми слагаемых на наименьшее из них, то есть на $\frac{1}{24}$. Поскольку мы заменяем семь слагаемых на строго меньшие значения, а одно оставляем без изменения, то исходная сумма будет строго больше новой суммы:

$\frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \frac{1}{19} + \dots + \frac{1}{24} > \underbrace{\frac{1}{24} + \frac{1}{24} + \dots + \frac{1}{24}}_{\text{8 раз}}$

Вычислим сумму в правой части неравенства: $8 \cdot \frac{1}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, мы доказали, что $\frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \frac{1}{19} + \dots + \frac{1}{24} > \frac{1}{3}$.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) Для доказательства неравенства $\frac{1}{28} + \frac{1}{29} + \frac{1}{30} + \dots + \frac{1}{36} > \frac{1}{4}$ применим тот же метод оценки. Сумма в левой части содержит $36 - 28 + 1 = 9$ слагаемых.

Наименьшим слагаемым в этой сумме является $\frac{1}{36}$. Все остальные слагаемые больше этого значения (например, $\frac{1}{28} > \frac{1}{36}$).

Заменим каждое из девяти слагаемых на наименьшее из них — на $\frac{1}{36}$. Так как восемь слагаемых заменяются на строго меньшие значения, исходная сумма будет строго больше, чем новая сумма:

$\frac{1}{28} + \frac{1}{29} + \frac{1}{30} + \dots + \frac{1}{36} > \underbrace{\frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \dots + \frac{1}{36}}_{\text{9 раз}}$

Вычислим сумму справа: $9 \cdot \frac{1}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

Следовательно, мы доказали, что $\frac{1}{28} + \frac{1}{29} + \frac{1}{30} + \dots + \frac{1}{36} > \frac{1}{4}$.

Ответ: что и требовалось доказать.