Номер 38, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2016

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2016 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий, зелёный

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика. Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 11 классе

Рациональные числа и действия с ними. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 38, страница 212.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№38 (с. 212)
Учебник. №38 (с. 212)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2016, страница 212, номер 38, Учебник

38. Сколько можно составить неравных между собой неправильных дробей, числителями и знаменателями которых являются числа:

1) 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23;

2) 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12?

Решение 2. №38 (с. 212)

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Нам нужно найти количество уникальных значений таких дробей, которые можно составить из предложенных чисел.

1)

Заданный набор чисел: $S_1 = \{7, 11, 13, 15, 17, 19, 23\}$. Всего 7 чисел.

Необходимо составить неправильные дроби $a/b$, где $a, b \in S_1$ и $a \ge b$. Важное свойство этого набора чисел заключается в том, что все они являются попарно взаимно простыми (наибольший общий делитель любой пары чисел равен 1). Например, $15 = 3 \cdot 5$, но в наборе нет других чисел, делящихся на 3 или 5.

Это свойство означает, что две дроби $a/b$ и $c/d$, составленные из этих чисел, будут равны только в том случае, если они идентичны, то есть $a=c$ и $b=d$. Действительно, из $a/b = c/d$ следует $a \cdot d = b \cdot c$. Так как $a$ взаимно просто с $b$, то $a$ должно делить $c$. Так как $c$ взаимно просто с $d$, то $c$ должно делить $a$. Поскольку числа положительные, из этого следует, что $a=c$, а значит и $b=d$.

Единственное исключение — это дроби, равные единице. Все они имеют одно и то же значение.

Разобьем задачу на два случая:

1. Случай, когда числитель равен знаменателю ($a=b$).
Можно составить следующие дроби: $7/7, 11/11, 13/13, 15/15, 17/17, 19/19, 23/23$.
Все эти дроби равны 1. Так как нам нужно найти количество неравных между собой дробей, все эти 7 дробей дают только одно уникальное значение.
Количество дробей в этом случае: 1.

2. Случай, когда числитель больше знаменателя ($a>b$).
Для составления такой дроби нужно выбрать два различных числа из набора $S_1$. Большее число станет числителем, а меньшее — знаменателем. Каждая такая пара даст уникальную неправильную дробь, значение которой будет больше 1. Как мы показали выше, все эти дроби будут различны.
Количество способов выбрать 2 различных числа из 7 равно числу сочетаний из 7 по 2:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.
Каждый из этих 21 способа дает новую уникальную дробь.

Суммируя количество уникальных дробей из обоих случаев, получаем общее количество:
$1 (\text{для случая } a=b) + 21 (\text{для случая } a>b) = 22$.

Ответ: 22.

2)

Заданный набор чисел: $S_2 = \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 12\}$. Всего 7 чисел.

В этом наборе числа не являются попарно взаимно простыми. Например, $6$ и $8$ имеют общий делитель 2. Это означает, что разные пары числителей и знаменателей могут давать равные дроби. Например, $12/6 = 2$ и $10/5 = 2$.

Чтобы найти количество уникальных дробей, нужно перебрать все возможные неправильные дроби $a/b$ ($a, b \in S_2, a \ge b$), привести их к несократимому виду и посчитать количество уникальных результатов.

Общее число пар $(a,b)$ с условием $a \ge b$ равно $C_7^2 + 7 = 21 + 7 = 28$.

Найдем группы пар, которые дают одинаковое значение:

  • Значение 1: $5/5, 6/6, 7/7, 8/8, 9/9, 10/10, 12/12$. (7 пар дают 1 уникальное значение)
  • $10/5 = 2$ и $12/6 = 2$. (2 пары дают 1 уникальное значение)
  • $9/6 = 3/2$ и $12/8 = 3/2$. (2 пары дают 1 уникальное значение)
  • $8/6 = 4/3$ и $12/9 = 4/3$. (2 пары дают 1 уникальное значение)
  • $12/10 = 6/5$. Пара $(6,5)$ также возможна. (2 пары $12/10$ и $6/5$ дают 1 уникальное значение)

Подсчитаем количество пар, которые мы рассмотрели в этих группах:
$7 + 2 + 2 + 2 + 2 = 15$ пар.
Эти 15 пар создают всего 5 уникальных значений ($1, 2, 3/2, 4/3, 6/5$).

Теперь найдем, сколько пар осталось. Общее количество пар 28.$28 - 15 = 13$ пар.

Эти 13 пар должны давать уникальные значения, которые не встречались ранее и не равны друг другу. Давайте их перечислим:

  • $7/5, 8/5, 9/5, 12/5$ (4 дроби)
  • $7/6, 10/6=5/3$ (2 дроби)
  • $8/7, 9/7, 10/7, 12/7$ (4 дроби)
  • $9/8, 10/8=5/4$ (2 дроби)
  • $10/9$ (1 дробь)

Всего $4+2+4+2+1=13$ дробей. Каждая из них уникальна.

Общее количество неравных между собой неправильных дробей равно сумме уникальных значений из групп и количества оставшихся уникальных дробей:
$5 + 13 = 18$.

Ответ: 18.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 38 расположенного на странице 212 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №38 (с. 212), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться