Номер 38, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Рациональные числа и действия с ними. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 38, страница 212.
№38 (с. 212)
Учебник. №38 (с. 212)
скриншот условия

38. Сколько можно составить неравных между собой неправильных дробей, числителями и знаменателями которых являются числа:
1) 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23;
2) 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12?
Решение 2. №38 (с. 212)
Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Нам нужно найти количество уникальных значений таких дробей, которые можно составить из предложенных чисел.
1)
Заданный набор чисел: $S_1 = \{7, 11, 13, 15, 17, 19, 23\}$. Всего 7 чисел.
Необходимо составить неправильные дроби $a/b$, где $a, b \in S_1$ и $a \ge b$. Важное свойство этого набора чисел заключается в том, что все они являются попарно взаимно простыми (наибольший общий делитель любой пары чисел равен 1). Например, $15 = 3 \cdot 5$, но в наборе нет других чисел, делящихся на 3 или 5.
Это свойство означает, что две дроби $a/b$ и $c/d$, составленные из этих чисел, будут равны только в том случае, если они идентичны, то есть $a=c$ и $b=d$. Действительно, из $a/b = c/d$ следует $a \cdot d = b \cdot c$. Так как $a$ взаимно просто с $b$, то $a$ должно делить $c$. Так как $c$ взаимно просто с $d$, то $c$ должно делить $a$. Поскольку числа положительные, из этого следует, что $a=c$, а значит и $b=d$.
Единственное исключение — это дроби, равные единице. Все они имеют одно и то же значение.
Разобьем задачу на два случая:
1. Случай, когда числитель равен знаменателю ($a=b$).
Можно составить следующие дроби: $7/7, 11/11, 13/13, 15/15, 17/17, 19/19, 23/23$.
Все эти дроби равны 1. Так как нам нужно найти количество неравных между собой дробей, все эти 7 дробей дают только одно уникальное значение.
Количество дробей в этом случае: 1.
2. Случай, когда числитель больше знаменателя ($a>b$).
Для составления такой дроби нужно выбрать два различных числа из набора $S_1$. Большее число станет числителем, а меньшее — знаменателем. Каждая такая пара даст уникальную неправильную дробь, значение которой будет больше 1. Как мы показали выше, все эти дроби будут различны.
Количество способов выбрать 2 различных числа из 7 равно числу сочетаний из 7 по 2:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.
Каждый из этих 21 способа дает новую уникальную дробь.
Суммируя количество уникальных дробей из обоих случаев, получаем общее количество:
$1 (\text{для случая } a=b) + 21 (\text{для случая } a>b) = 22$.
Ответ: 22.
2)
Заданный набор чисел: $S_2 = \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 12\}$. Всего 7 чисел.
В этом наборе числа не являются попарно взаимно простыми. Например, $6$ и $8$ имеют общий делитель 2. Это означает, что разные пары числителей и знаменателей могут давать равные дроби. Например, $12/6 = 2$ и $10/5 = 2$.
Чтобы найти количество уникальных дробей, нужно перебрать все возможные неправильные дроби $a/b$ ($a, b \in S_2, a \ge b$), привести их к несократимому виду и посчитать количество уникальных результатов.
Общее число пар $(a,b)$ с условием $a \ge b$ равно $C_7^2 + 7 = 21 + 7 = 28$.
Найдем группы пар, которые дают одинаковое значение:
- Значение 1: $5/5, 6/6, 7/7, 8/8, 9/9, 10/10, 12/12$. (7 пар дают 1 уникальное значение)
- $10/5 = 2$ и $12/6 = 2$. (2 пары дают 1 уникальное значение)
- $9/6 = 3/2$ и $12/8 = 3/2$. (2 пары дают 1 уникальное значение)
- $8/6 = 4/3$ и $12/9 = 4/3$. (2 пары дают 1 уникальное значение)
- $12/10 = 6/5$. Пара $(6,5)$ также возможна. (2 пары $12/10$ и $6/5$ дают 1 уникальное значение)
Подсчитаем количество пар, которые мы рассмотрели в этих группах:
$7 + 2 + 2 + 2 + 2 = 15$ пар.
Эти 15 пар создают всего 5 уникальных значений ($1, 2, 3/2, 4/3, 6/5$).
Теперь найдем, сколько пар осталось. Общее количество пар 28.$28 - 15 = 13$ пар.
Эти 13 пар должны давать уникальные значения, которые не встречались ранее и не равны друг другу. Давайте их перечислим:
- $7/5, 8/5, 9/5, 12/5$ (4 дроби)
- $7/6, 10/6=5/3$ (2 дроби)
- $8/7, 9/7, 10/7, 12/7$ (4 дроби)
- $9/8, 10/8=5/4$ (2 дроби)
- $10/9$ (1 дробь)
Всего $4+2+4+2+1=13$ дробей. Каждая из них уникальна.
Общее количество неравных между собой неправильных дробей равно сумме уникальных значений из групп и количества оставшихся уникальных дробей:
$5 + 13 = 18$.
Ответ: 18.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 38 расположенного на странице 212 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №38 (с. 212), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.