Номер 38, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Рациональные числа и действия с ними - номер 38, страница 212.

Учебник.

38. Сколько можно составить неравных между собой неправильных дробей, числителями и знаменателями которых являются числа:

1) 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23;

2) 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12?

Решение 2.

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Нам нужно найти количество уникальных значений таких дробей, которые можно составить из предложенных чисел.

1)

Заданный набор чисел: $S_1 = \{7, 11, 13, 15, 17, 19, 23\}$. Всего 7 чисел.

Необходимо составить неправильные дроби $a/b$, где $a, b \in S_1$ и $a \ge b$. Важное свойство этого набора чисел заключается в том, что все они являются попарно взаимно простыми (наибольший общий делитель любой пары чисел равен 1). Например, $15 = 3 \cdot 5$, но в наборе нет других чисел, делящихся на 3 или 5.

Это свойство означает, что две дроби $a/b$ и $c/d$, составленные из этих чисел, будут равны только в том случае, если они идентичны, то есть $a=c$ и $b=d$. Действительно, из $a/b = c/d$ следует $a \cdot d = b \cdot c$. Так как $a$ взаимно просто с $b$, то $a$ должно делить $c$. Так как $c$ взаимно просто с $d$, то $c$ должно делить $a$. Поскольку числа положительные, из этого следует, что $a=c$, а значит и $b=d$.

Единственное исключение — это дроби, равные единице. Все они имеют одно и то же значение.

Разобьем задачу на два случая:

1. Случай, когда числитель равен знаменателю ($a=b$).
Можно составить следующие дроби: $7/7, 11/11, 13/13, 15/15, 17/17, 19/19, 23/23$.
Все эти дроби равны 1. Так как нам нужно найти количество неравных между собой дробей, все эти 7 дробей дают только одно уникальное значение.
Количество дробей в этом случае: 1.

2. Случай, когда числитель больше знаменателя ($a>b$).
Для составления такой дроби нужно выбрать два различных числа из набора $S_1$. Большее число станет числителем, а меньшее — знаменателем. Каждая такая пара даст уникальную неправильную дробь, значение которой будет больше 1. Как мы показали выше, все эти дроби будут различны.
Количество способов выбрать 2 различных числа из 7 равно числу сочетаний из 7 по 2:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.
Каждый из этих 21 способа дает новую уникальную дробь.

Суммируя количество уникальных дробей из обоих случаев, получаем общее количество:
$1 (\text{для случая } a=b) + 21 (\text{для случая } a>b) = 22$.

Ответ: 22.

2)

Заданный набор чисел: $S_2 = \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 12\}$. Всего 7 чисел.

В этом наборе числа не являются попарно взаимно простыми. Например, $6$ и $8$ имеют общий делитель 2. Это означает, что разные пары числителей и знаменателей могут давать равные дроби. Например, $12/6 = 2$ и $10/5 = 2$.

Чтобы найти количество уникальных дробей, нужно перебрать все возможные неправильные дроби $a/b$ ($a, b \in S_2, a \ge b$), привести их к несократимому виду и посчитать количество уникальных результатов.

Общее число пар $(a,b)$ с условием $a \ge b$ равно $C_7^2 + 7 = 21 + 7 = 28$.

Найдем группы пар, которые дают одинаковое значение:

• Значение 1: $5/5, 6/6, 7/7, 8/8, 9/9, 10/10, 12/12$. (7 пар дают 1 уникальное значение)
• $10/5 = 2$ и $12/6 = 2$. (2 пары дают 1 уникальное значение)
• $9/6 = 3/2$ и $12/8 = 3/2$. (2 пары дают 1 уникальное значение)
• $8/6 = 4/3$ и $12/9 = 4/3$. (2 пары дают 1 уникальное значение)
• $12/10 = 6/5$. Пара $(6,5)$ также возможна. (2 пары $12/10$ и $6/5$ дают 1 уникальное значение)

Подсчитаем количество пар, которые мы рассмотрели в этих группах:
$7 + 2 + 2 + 2 + 2 = 15$ пар.
Эти 15 пар создают всего 5 уникальных значений ($1, 2, 3/2, 4/3, 6/5$).

Теперь найдем, сколько пар осталось. Общее количество пар 28.$28 - 15 = 13$ пар.

Эти 13 пар должны давать уникальные значения, которые не встречались ранее и не равны друг другу. Давайте их перечислим:

• $7/5, 8/5, 9/5, 12/5$ (4 дроби)
• $7/6, 10/6=5/3$ (2 дроби)
• $8/7, 9/7, 10/7, 12/7$ (4 дроби)
• $9/8, 10/8=5/4$ (2 дроби)
• $10/9$ (1 дробь)

Всего $4+2+4+2+1=13$ дробей. Каждая из них уникальна.

Общее количество неравных между собой неправильных дробей равно сумме уникальных значений из групп и количества оставшихся уникальных дробей:
$5 + 13 = 18$.

Ответ: 18.