Номер 44, страница 213 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Рациональные числа и действия с ними - номер 44, страница 213.

Учебник.

44. Какую из данных десятичных дробей нельзя преобразовать в конечную десятичную дробь:

1) $\frac{11}{16}$;

2) $\frac{24}{600}$;

3) $\frac{5}{12}$;

4) $\frac{18}{125}$?

Решение 2.

Для того чтобы обыкновенную дробь можно было преобразовать в конечную десятичную, необходимо и достаточно, чтобы в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители не было других множителей, кроме 2 и 5. Проанализируем каждую из предложенных дробей.

1) $\frac{11}{16}$

Данная дробь является несократимой. Разложим ее знаменатель на простые множители: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$. Поскольку в разложении знаменателя присутствует только множитель 2, эту дробь можно преобразовать в конечную десятичную.

2) $\frac{24}{600}$

Сначала сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для числителя и знаменателя равен 24. $\frac{24}{600} = \frac{24 \div 24}{600 \div 24} = \frac{1}{25}$. Разложим знаменатель полученной несократимой дроби на простые множители: $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$. Поскольку в разложении знаменателя присутствует только множитель 5, эту дробь можно преобразовать в конечную десятичную.

3) $\frac{5}{12}$

Данная дробь является несократимой. Разложим ее знаменатель на простые множители: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. Поскольку в разложении знаменателя присутствует множитель 3, который отличен от 2 и 5, эту дробь нельзя преобразовать в конечную десятичную. Она будет представлена в виде бесконечной периодической дроби ($0,41(6)$).

4) $\frac{18}{125}$

Данная дробь является несократимой, так как $18 = 2 \cdot 3^2$, а $125 = 5^3$, и у них нет общих простых множителей. Разложим знаменатель на простые множители: $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$. Поскольку в разложении знаменателя присутствует только множитель 5, эту дробь можно преобразовать в конечную десятичную.

Таким образом, единственная дробь из предложенного списка, которую нельзя преобразовать в конечную десятичную дробь, это $\frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$.