Номер 47, страница 213 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные числа и действия с ними. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 47, страница 213.

47. Сумма 1000 натуральных чисел равна 1001. Чему равно их произведение?

Обозначим 1000 натуральных чисел как $n_1, n_2, \ldots, n_{1000}$.

Поскольку числа являются натуральными, каждое из них должно быть не меньше 1. То есть, $n_i \ge 1$ для любого $i$ от 1 до 1000.

Сумма этих 1000 чисел по условию равна 1001:

$$ n_1 + n_2 + \ldots + n_{1000} = 1001 $$

Мы можем представить каждое натуральное число $n_i$ в виде $n_i = 1 + d_i$, где $d_i$ — это целое неотрицательное число ($d_i \ge 0$). Подставим это в уравнение суммы:

$$ (1+d_1) + (1+d_2) + \ldots + (1+d_{1000}) = 1001 $$

Сгруппировав единицы и слагаемые $d_i$, получим:

$$ \underbrace{(1+1+\ldots+1)}_{1000 \text{ раз}} + (d_1 + d_2 + \ldots + d_{1000}) = 1001 $$$$ 1000 + (d_1 + d_2 + \ldots + d_{1000}) = 1001 $$

Вычитая 1000 из обеих частей, находим сумму "излишков" $d_i$:

$$ d_1 + d_2 + \ldots + d_{1000} = 1 $$

Поскольку все $d_i$ являются целыми и неотрицательными числами, единственное возможное решение этого уравнения — это когда одно из слагаемых $d_i$ равно 1, а все остальные 999 слагаемых равны 0.

Это означает, что для одного из чисел (скажем, $n_k$) соответствующее $d_k=1$, и тогда $n_k = 1+1=2$. Для всех остальных 999 чисел соответствующие $d_i=0$, и тогда $n_i = 1+0=1$.

Таким образом, набор чисел однозначно определен: он состоит из 999 единиц и одной двойки.

Теперь найдем произведение этих чисел:

$$ P = \underbrace{1 \times 1 \times \ldots \times 1}_{999 \text{ множителей}} \times 2 = 1^{999} \times 2 = 1 \times 2 = 2 $$

Ответ: 2