Номер 41, страница 213 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные числа и действия с ними. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 41, страница 213.

41. Вычислите значение выражения:

1) $\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 10}$;

2) $\frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{3}{26 \cdot 29}$.

1) Для вычисления значения данного выражения воспользуемся методом, основанным на представлении каждой дроби в виде разности. Заметим, что для любого натурального $n$ справедливо тождество: $ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $.
Применим это свойство к каждому слагаемому нашей суммы:
$ \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $
$ \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $
$ \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $
...
$ \frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} $
Теперь запишем всю сумму в развернутом виде:
$ (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) $
Такая сумма называется телескопической. В ней все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются ($-\frac{1}{3}$ и $+\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{4}$ и $+\frac{1}{4}$ и т.д.). В результате остаются только первый и последний члены:
$ \frac{1}{2} - \frac{1}{10} $
Вычислим полученное значение:
$ \frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{5}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $.

Ответ: $ \frac{2}{5} $.

2) Это выражение также можно вычислить с помощью телескопической суммы. Рассмотрим общий вид слагаемого $ \frac{3}{n(n+k)} $. В нашем случае множители в знаменателе ($2, 5, 8, \dots, 29$) образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=3$.
Представим каждое слагаемое в виде разности. Заметим, что $ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} = \frac{(n+3) - n}{n(n+3)} = \frac{3}{n(n+3)} $.
Следовательно, мы можем использовать тождество $ \frac{3}{n(n+3)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} $ для каждого члена суммы.
Применим это тождество:
$ \frac{3}{2 \cdot 5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} $
$ \frac{3}{5 \cdot 8} = \frac{1}{5} - \frac{1}{8} $
$ \frac{3}{8 \cdot 11} = \frac{1}{8} - \frac{1}{11} $
...
$ \frac{3}{26 \cdot 29} = \frac{1}{26} - \frac{1}{29} $
Запишем исходное выражение в новом виде:
$ (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{11}) + \dots + (\frac{1}{26} - \frac{1}{29}) $
Здесь, как и в предыдущем примере, все промежуточные члены сокращаются. Остаются только первый и последний члены:
$ \frac{1}{2} - \frac{1}{29} $
Выполним вычитание:
$ \frac{1}{2} - \frac{1}{29} = \frac{29}{58} - \frac{2}{58} = \frac{27}{58} $.

Ответ: $ \frac{27}{58} $.