Номер 36, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные числа и действия с ними. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 36, страница 212.

36. Сколько можно составить неравных между собой правильных дробей, числителями и знаменателями которых являются числа:

1) 3, 5, 7, 11, 13, 17;

2) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

1)

Задача состоит в том, чтобы найти количество различных правильных дробей, которые можно составить из чисел множества $S_1 = \{3, 5, 7, 11, 13, 17\}$.

Правильная дробь — это дробь $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ меньше знаменателя $n$ ($m < n$). Числитель и знаменатель должны быть выбраны из множества $S_1$.

Все числа в данном множестве являются простыми. Это означает, что любая дробь, составленная из двух разных чисел этого множества, будет несократимой, так как наибольший общий делитель двух различных простых чисел равен 1. Следовательно, каждая пара различных чисел $(m, n)$ из множества $S_1$ с условием $m < n$ образует уникальную дробь.

Таким образом, задача сводится к нахождению количества способов выбрать 2 различных числа из набора, состоящего из 6 чисел. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний.

Число сочетаний из $k$ элементов по $n$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=6$ (общее количество чисел) и $k=2$ (мы выбираем числитель и знаменатель). $C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$.

Можно также пересчитать все возможные дроби вручную, чтобы убедиться в правильности:

• Если знаменатель равен 5, числитель может быть 3 (1 дробь: $\frac{3}{5}$).
• Если знаменатель равен 7, числители могут быть 3, 5 (2 дроби: $\frac{3}{7}, \frac{5}{7}$).
• Если знаменатель равен 11, числители могут быть 3, 5, 7 (3 дроби).
• Если знаменатель равен 13, числители могут быть 3, 5, 7, 11 (4 дроби).
• Если знаменатель равен 17, числители могут быть 3, 5, 7, 11, 13 (5 дробей).

Общее количество дробей: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.

Ответ: 15

2)

Задача состоит в том, чтобы найти количество различных правильных дробей, которые можно составить из чисел множества $S_2 = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

В этом множестве есть составные числа, поэтому некоторые дроби могут быть равны друг другу после сокращения (например, $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8}$). Нам нужно найти количество именно уникальных по значению дробей.

Сначала найдем общее количество возможных правильных дробей без учета их равенства. В множестве 8 чисел. Количество способов выбрать 2 различных числа из 8 равно: $C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.

Теперь необходимо найти и исключить все дубликаты. Для этого выпишем все 28 дробей и посмотрим, какие из них равны:

• Со знаменателем 3: $\frac{2}{3}$
• Со знаменателем 4: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$
• Со знаменателем 5: $\frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}$
• Со знаменателем 6: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, $\frac{5}{6}$
• Со знаменателем 7: $\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$
• Со знаменателем 8: $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$, $\frac{7}{8}$
• Со знаменателем 9: $\frac{2}{9}, \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$, $\frac{4}{9}, \frac{5}{9}, \frac{6}{9} = \frac{2}{3}, \frac{8}{9}$

Теперь выявим группы равных дробей:

• $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8}$ (3 дроби, но 1 уникальное значение)
• $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9}$ (2 дроби, но 1 уникальное значение)
• $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9}$ (к этой группе относится и исходная дробь $\frac{2}{3}$ - всего 3 дроби, 1 уникальное значение)
• $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ (к этой группе относится и исходная дробь $\frac{3}{4}$ - всего 2 дроби, 1 уникальное значение)

Подсчитаем количество "лишних" дробей (дубликатов):

• Для значения $\frac{1}{2}$ есть 3 дроби. Считаем одну, 2 лишние.
• Для значения $\frac{1}{3}$ есть 2 дроби. Считаем одну, 1 лишняя.
• Для значения $\frac{2}{3}$ есть 3 дроби. Считаем одну, 2 лишние.
• Для значения $\frac{3}{4}$ есть 2 дроби. Считаем одну, 1 лишняя.

Общее число дубликатов: $2 + 1 + 2 + 1 = 6$.

Количество уникальных дробей равно общему числу дробей минус количество дубликатов: $28 - 6 = 22$.

Ответ: 22