Страница 220 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

117. Среди учащихся 11 класса провели опрос: сколько времени они тратят ежедневно на выполнение домашних заданий. Результаты опроса представили в виде гистограммы, изображённой на рисунке 4. Найдите моду и среднее значение данной выборки.

Рис. 4

Гистограмма:

По горизонтали: Время выполнения домашних заданий

По вертикали: Количество учащихся

Данные гистограммы:

• 1 час 30 минут: 2 учащихся
• 1 час 45 минут: 5 учащихся
• 2 часа 15 минут: 8 учащихся
• 2 часа 30 минут: 6 учащихся
• 2 часа 45 минут: 4 учащихся
• 3 часа 15 минут: 5 учащихся

Для решения задачи проанализируем данные, представленные на гистограмме. Гистограмма показывает, сколько учащихся (вертикальная ось) тратят определенное количество времени (горизонтальная ось) на выполнение домашних заданий.

Выпишем данные из гистограммы:

• 1 час 30 минут — 2 учащихся
• 1 час 45 минут — 5 учащихся
• 2 часа 15 минут — 8 учащихся
• 2 часа 30 минут — 6 учащихся
• 2 часа 45 минут — 4 учащихся
• 3 часа 15 минут — 5 учащихся

Мода

Мода — это значение признака, которое встречается в выборке наиболее часто. В случае гистограммы это значение, которому соответствует самый высокий столбец.

Самый высокий столбец на гистограмме соответствует 8 учащимся. На горизонтальной оси этому значению соответствует время "2 часа 15 минут".

Ответ: мода данной выборки составляет 2 часа 15 минут.

Среднее значение

Чтобы найти среднее значение времени, необходимо общее время, затраченное всеми учащимися, разделить на общее количество учащихся.

1. Найдем общее количество учащихся в выборке, сложив количество учащихся для каждого временного интервала:

$N = 2 + 5 + 8 + 6 + 4 + 5 = 30$ учащихся.

2. Для удобства вычислений переведем все временные интервалы в минуты:

• 1 час 30 минут = $1 \cdot 60 + 30 = 90$ минут
• 1 час 45 минут = $1 \cdot 60 + 45 = 105$ минут
• 2 часа 15 минут = $2 \cdot 60 + 15 = 135$ минут
• 2 часа 30 минут = $2 \cdot 60 + 30 = 150$ минут
• 2 часа 45 минут = $2 \cdot 60 + 45 = 165$ минут
• 3 часа 15 минут = $3 \cdot 60 + 15 = 195$ минут

3. Вычислим общее время (в минутах), затраченное всеми учащимися. Для этого умножим каждое значение времени на соответствующее ему количество учащихся и сложим полученные произведения:

$T_{общ} = (90 \cdot 2) + (105 \cdot 5) + (135 \cdot 8) + (150 \cdot 6) + (165 \cdot 4) + (195 \cdot 5)$

$T_{общ} = 180 + 525 + 1080 + 900 + 660 + 975 = 4320$ минут.

4. Найдем среднее значение, разделив общее время на общее количество учащихся:

Среднее время $= \frac{T_{общ}}{N} = \frac{4320}{30} = 144$ минуты.

5. Переведем полученное значение обратно в часы и минуты:

$144$ минуты = $120$ минут + $24$ минуты = 2 часа 24 минуты.

Ответ: среднее значение данной выборки составляет 2 часа 24 минуты.

118. Опросив группу мальчиков-девятиклассников об их размере обуви, со- ставили таблицу:

Найдите относительную частоту, соответствующую размеру обуви 28.

Относительная частота — это отношение частоты, с которой встречается определенное значение в выборке, к общему числу наблюдений (объему выборки).

1. Найдем общее количество мальчиков в группе.

Для этого необходимо сложить количество мальчиков для каждого размера обуви, указанное в строке "Количество мальчиков" в таблице:

$N = 5 + 8 + 7 + 7 + 6 + 5 + 2 = 40$

Таким образом, общее количество опрошенных мальчиков (объем выборки) составляет 40.

2. Найдем частоту, соответствующую размеру обуви 28.

Из таблицы видно, что количество мальчиков с размером обуви 28 равно 7. Это и есть частота ($m$) для данного значения.

$m = 7$

3. Вычислим относительную частоту.

Относительная частота вычисляется по формуле:

Относительная частота = $\frac{m}{N}$

Подставим наши значения в формулу:

Относительная частота = $\frac{7}{40}$

Теперь преобразуем полученную обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{7}{40} = 7 \div 40 = 0,175$

Ответ: 0,175

119. По результатам диктанта по русскому языку 25 учащихся 11 класса составили таблицу, в которой отобразили распределение количества ошибок, сделанных одним учащимся:

Найдите моду и среднее значение выборки, постройте соответствующую гистограмму.

Найти моду

Мода — это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто. В данном случае мы рассматриваем количество ошибок. Чтобы найти моду, нужно посмотреть на строку "Количество учащихся" и найти самое большое число.

Количество учащихся для каждого значения ошибок:

• 0 ошибок: 5 учащихся
• 1 ошибка: 4 учащихся
• 2 ошибки: 6 учащихся
• 3 ошибки: 8 учащихся
• 4 ошибки: 2 учащихся

Наибольшее число учащихся — 8. Это количество соответствует 3 ошибкам. Следовательно, мода данной выборки — 3 ошибки.

Ответ: мода выборки равна 3.

Найти среднее значение выборки

Среднее значение выборки (или среднее арифметическое взвешенное) находится путем деления общей суммы всех ошибок на общее количество учащихся.

Общая формула: $\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i}$, где $x_i$ — это количество ошибок, а $f_i$ — соответствующее количество учащихся (частота).

1. Найдем общее количество учащихся (знаменатель):
$\sum f_i = 5 + 4 + 6 + 8 + 2 = 25$ учащихся.

2. Найдем суммарное количество всех сделанных ошибок (числитель):
$\sum (x_i \cdot f_i) = (0 \cdot 5) + (1 \cdot 4) + (2 \cdot 6) + (3 \cdot 8) + (4 \cdot 2) = 0 + 4 + 12 + 24 + 8 = 48$ ошибок.

3. Вычислим среднее значение:
$\bar{x} = \frac{48}{25} = 1.92$

Ответ: среднее значение выборки равно 1,92.

Постройте соответствующую гистограмму

Гистограмма — это столбчатая диаграмма, которая показывает распределение данных. В нашем случае по горизонтальной оси откладывается количество ошибок, а высота каждого столбца соответствует количеству учащихся, сделавших такое количество ошибок.

Ответ: гистограмма, представляющая распределение количества ошибок, построена выше.