Страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

157. Известно, что $x - \frac{1}{x} = 6$. Найдите значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Для того чтобы найти значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, воспользуемся данным нам равенством $x - \frac{1}{x} = 6$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат. Для левой части применим формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x$ и $b = \frac{1}{x}$.

$(x - \frac{1}{x})^2 = 6^2$

Раскроем скобки в левой части:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 36$

Упростим средний член в левой части выражения:

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 36$

Теперь, чтобы найти значение искомого выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, перенесем $-2$ из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 36 + 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 38$

Ответ: 38

158. Известно, что $3x + \frac{1}{x} = -3$. Найдите значение выражения $9x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Для того чтобы найти значение выражения $9x^2 + \frac{1}{x^2}$, воспользуемся известным равенством $3x + \frac{1}{x} = -3$.

Заметим, что искомое выражение можно получить, возведя в квадрат данное выражение. Применим формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Возведем обе части исходного равенства в квадрат:

$(3x + \frac{1}{x})^2 = (-3)^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$(3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2 = 9$

Упростим полученное выражение. Средний член $2 \cdot 3x \cdot \frac{1}{x}$ равен $6$, так как $x$ и $\frac{1}{x}$ сокращаются.

$9x^2 + 6 + \frac{1}{x^2} = 9$

Теперь, чтобы найти значение выражения $9x^2 + \frac{1}{x^2}$, перенесем 6 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком:

$9x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 6$

$9x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

Ответ: 3

159. Дано: $x^2 + \frac{16}{x^2} = 56$. Найдите значение выражения $x + \frac{4}{x}$.

Для того чтобы найти значение выражения $x + \frac{4}{x}$, имея уравнение $x^2 + \frac{16}{x^2} = 56$, мы можем использовать формулу квадрата суммы.

Рассмотрим квадрат искомого выражения $(x + \frac{4}{x})$. Согласно формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=\frac{4}{x}$, получаем:

$(x + \frac{4}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} + (\frac{4}{x})^2$

Упростим средний член и последний член выражения:

$2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} = 8$

$(\frac{4}{x})^2 = \frac{16}{x^2}$

Таким образом, раскрытие скобок дает:

$(x + \frac{4}{x})^2 = x^2 + 8 + \frac{16}{x^2}$

Перегруппируем члены, чтобы выделить данное нам в условии выражение:

$(x + \frac{4}{x})^2 = (x^2 + \frac{16}{x^2}) + 8$

Теперь подставим известное значение $x^2 + \frac{16}{x^2} = 56$ в полученное равенство:

$(x + \frac{4}{x})^2 = 56 + 8$

$(x + \frac{4}{x})^2 = 64$

Чтобы найти значение $x + \frac{4}{x}$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует учесть, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x + \frac{4}{x} = \pm\sqrt{64}$

$x + \frac{4}{x} = \pm 8$

Следовательно, выражение $x + \frac{4}{x}$ может принимать два значения.

Ответ: 8 или -8.

160. Дано: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$. Найдите значение выражения $x - \frac{1}{x}$.

160.

Для того чтобы найти значение выражения $x - \frac{1}{x}$, имея известное значение для $x^2 + \frac{1}{x^2}$, мы можем возвести искомое выражение в квадрат. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Применим эту формулу к нашему выражению:

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2$

Упростим средний член выражения:

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы использовать данное нам в условии равенство:

$(x - \frac{1}{x})^2 = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 2$

По условию задачи $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$. Подставим это значение в наше уравнение:

$(x - \frac{1}{x})^2 = 3 - 2 = 1$

Мы нашли, что квадрат искомого выражения равен 1. Чтобы найти значение самого выражения $x - \frac{1}{x}$, необходимо извлечь квадратный корень из 1. Уравнение вида $A^2 = 1$ имеет два корня: $A=1$ и $A=-1$.

Следовательно, выражение $x - \frac{1}{x}$ может принимать два значения.

Ответ: $1; -1$.

161. Упростите выражение:

1) $\frac{a^2 + ab + 5a + 5b}{a^2 + 2ab + b^2} : \frac{a^2 - 25}{a^2 + ab - 5a - 5b};$

2) $\frac{a^2 - a + ab - b}{a^2 - a - ab + b} : \frac{a^2 + a + ab + b}{a^2 + a - ab - b}.$

1)

Исходное выражение: $ \frac{a^2 + ab + 5a + 5b}{a^2 + 2ab + b^2} : \frac{a^2 - 25}{a^2 + ab - 5a - 5b} $.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$ \frac{a^2 + ab + 5a + 5b}{a^2 + 2ab + b^2} \cdot \frac{a^2 + ab - 5a - 5b}{a^2 - 25} $

Теперь разложим на множители числители и знаменатели всех дробей, используя метод группировки и формулы сокращенного умножения.

Числитель первой дроби: $ a^2 + ab + 5a + 5b = (a^2 + ab) + (5a + 5b) = a(a+b) + 5(a+b) = (a+b)(a+5) $.

Знаменатель первой дроби — это формула квадрата суммы: $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $.

Числитель второй дроби (который был знаменателем до переворачивания): $ a^2 + ab - 5a - 5b = (a^2 + ab) - (5a + 5b) = a(a+b) - 5(a+b) = (a+b)(a-5) $.

Знаменатель второй дроби — это формула разности квадратов: $ a^2 - 25 = a^2 - 5^2 = (a-5)(a+5) $.

Подставим полученные разложения в выражение:

$ \frac{(a+b)(a+5)}{(a+b)^2} \cdot \frac{(a+b)(a-5)}{(a-5)(a+5)} $

Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Можно записать все под одной дробной чертой для наглядности:

$ \frac{(a+b)(a+5)(a+b)(a-5)}{(a+b)^2(a-5)(a+5)} = \frac{(a+b)^2(a+5)(a-5)}{(a+b)^2(a+5)(a-5)} = 1 $

Ответ: 1

2)

Исходное выражение: $ \frac{a^2 - a + ab - b}{a^2 - a - ab + b} : \frac{a^2 + a + ab + b}{a^2 + a - ab - b} $.

Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:

$ \frac{a^2 - a + ab - b}{a^2 - a - ab + b} \cdot \frac{a^2 + a - ab - b}{a^2 + a + ab + b} $

Разложим на множители все числители и знаменатели методом группировки.

Числитель первой дроби: $ a^2 - a + ab - b = (a^2 - a) + (ab - b) = a(a-1) + b(a-1) = (a-1)(a+b) $.

Знаменатель первой дроби: $ a^2 - a - ab + b = (a^2 - a) - (ab - b) = a(a-1) - b(a-1) = (a-1)(a-b) $.

Числитель второй дроби: $ a^2 + a - ab - b = (a^2 + a) - (ab + b) = a(a+1) - b(a+1) = (a+1)(a-b) $.

Знаменатель второй дроби: $ a^2 + a + ab + b = (a^2 + a) + (ab + b) = a(a+1) + b(a+1) = (a+1)(a+b) $.

Подставим разложенные многочлены в наше выражение:

$ \frac{(a-1)(a+b)}{(a-1)(a-b)} \cdot \frac{(a+1)(a-b)}{(a+1)(a+b)} $

Объединим множители под одной дробной чертой и произведем сокращение:

$ \frac{(a-1)(a+b)(a+1)(a-b)}{(a-1)(a-b)(a+1)(a+b)} $

Все множители в числителе и знаменателе взаимно сокращаются.

$ \frac{\cancel{(a-1)}\cancel{(a+b)}\cancel{(a+1)}\cancel{(a-b)}}{\cancel{(a-1)}\cancel{(a-b)}\cancel{(a+1)}\cancel{(a+b)}} = 1 $

Ответ: 1

162. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{m}{m-2} - 1\right) : \frac{6m}{mn - 2n};$

2) $\left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right) : \frac{a+b}{2ab};$

3) $\frac{6x}{x+2} - \frac{x-6}{3x+6} \cdot \frac{72}{x^2 - 6x};$

4) $\left(a - \frac{15a-25}{a+5}\right) : \frac{a^2 - 5a}{a+5};$

5) $\frac{k+4}{k^2 - 6k + 9} : \frac{k^2 - 16}{2k - 6} - \frac{2}{k-4};$

6) $\left(\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1}\right) : \frac{4m}{1-m^2};$

7) $\frac{2x}{x^2 - 1} : \left(\frac{1}{x^2 + 2x + 1} - \frac{1}{1 - x^2}\right);$

8) $\left(\frac{2a - 6}{a^2 - 4a + 4} - \frac{a - 4}{a^2 - 2a}\right) : \frac{a^2 - 8}{a^3 - 4a};$

9) $\frac{9a^2 - 4}{2a^2 - 5a + 2} \cdot \frac{2a - 1}{3a - 2} + \frac{a + 6}{2 - a};$

10) $\frac{b^3 + 2b}{b^2 - 1} : \left(\frac{b + 1}{2b^2 - 3b + 1} - \frac{1}{b^2 - 1}\right);$

1)Сначала выполним действие в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(m-2)$:
$\left(\frac{m}{m-2} - 1\right) = \frac{m}{m-2} - \frac{m-2}{m-2} = \frac{m - (m-2)}{m-2} = \frac{m - m + 2}{m-2} = \frac{2}{m-2}$
Теперь упростим второй дробь (делитель), вынеся общий множитель $n$ в знаменателе:
$\frac{6m}{mn - 2n} = \frac{6m}{n(m-2)}$
Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{2}{m-2} : \frac{6m}{n(m-2)} = \frac{2}{m-2} \cdot \frac{n(m-2)}{6m}$
Сократим общие множители $(m-2)$ и числа 2 и 6:
$\frac{\cancel{2}}{\cancel{m-2}} \cdot \frac{n(\cancel{m-2})}{\cancel{6}^3m} = \frac{n}{3m}$
Ответ: $\frac{n}{3m}$

2)Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $ab$:
$\left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right) = \frac{a \cdot a}{ab} - \frac{b \cdot b}{ab} = \frac{a^2 - b^2}{ab}$
Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю:
$\frac{(a-b)(a+b)}{ab}$
Выполним деление:
$\frac{(a-b)(a+b)}{ab} : \frac{a+b}{2ab} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab} \cdot \frac{2ab}{a+b}$
Сократим общие множители $(a+b)$ и $ab$:
$\frac{(a-b)(\cancel{a+b})}{\cancel{ab}} \cdot \frac{2\cancel{ab}}{\cancel{a+b}} = 2(a-b)$
Ответ: $2(a-b)$

3)Согласно порядку действий, сначала выполним умножение. Разложим знаменатели на множители:
$\frac{x-6}{3x+6} \cdot \frac{72}{x^2-6x} = \frac{x-6}{3(x+2)} \cdot \frac{72}{x(x-6)}$
Сократим общие множители $(x-6)$ и числа 72 и 3:
$\frac{\cancel{x-6}}{3(x+2)} \cdot \frac{72}{x(\cancel{x-6})} = \frac{72}{3x(x+2)} = \frac{24}{x(x+2)}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{6x}{x+2} - \frac{24}{x(x+2)}$
Приведем к общему знаменателю $x(x+2)$:
$\frac{6x \cdot x}{x(x+2)} - \frac{24}{x(x+2)} = \frac{6x^2-24}{x(x+2)}$
Вынесем общий множитель 6 в числителе и применим формулу разности квадратов:
$\frac{6(x^2-4)}{x(x+2)} = \frac{6(x-2)(x+2)}{x(x+2)}$
Сократим общий множитель $(x+2)$:
$\frac{6(x-2)(\cancel{x+2})}{x(\cancel{x+2})} = \frac{6(x-2)}{x}$
Ответ: $\frac{6(x-2)}{x}$

4)Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $(a+5)$:
$a - \frac{15a-25}{a+5} = \frac{a(a+5)}{a+5} - \frac{15a-25}{a+5} = \frac{a^2+5a - (15a-25)}{a+5} = \frac{a^2-10a+25}{a+5}$
Свернем числитель по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$\frac{(a-5)^2}{a+5}$
Разложим делитель на множители: $\frac{a^2-5a}{a+5} = \frac{a(a-5)}{a+5}$.
Выполним деление:
$\frac{(a-5)^2}{a+5} : \frac{a(a-5)}{a+5} = \frac{(a-5)^2}{a+5} \cdot \frac{a+5}{a(a-5)}$
Сократим общие множители $(a+5)$ и $(a-5)$:
$\frac{(a-5)^{\cancel{2}}}{\cancel{a+5}} \cdot \frac{\cancel{a+5}}{a(\cancel{a-5})} = \frac{a-5}{a}$
Ответ: $\frac{a-5}{a}$

5)Сначала выполним деление. Для этого разложим числители и знаменатели на множители:
$k^2-6k+9 = (k-3)^2$
$k^2-16 = (k-4)(k+4)$
$2k-6 = 2(k-3)$
$\frac{k+4}{k^2-6k+9} : \frac{k^2-16}{2k-6} = \frac{k+4}{(k-3)^2} : \frac{(k-4)(k+4)}{2(k-3)} = \frac{k+4}{(k-3)^2} \cdot \frac{2(k-3)}{(k-4)(k+4)}$
Сократим общие множители $(k+4)$ и $(k-3)$:
$\frac{\cancel{k+4}}{(k-3)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{2(\cancel{k-3})}{(k-4)(\cancel{k+4})} = \frac{2}{(k-3)(k-4)}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{2}{(k-3)(k-4)} - \frac{2}{k-4}$
Приведем к общему знаменателю $(k-3)(k-4)$:
$\frac{2}{(k-3)(k-4)} - \frac{2(k-3)}{(k-3)(k-4)} = \frac{2 - 2(k-3)}{(k-3)(k-4)} = \frac{2 - 2k + 6}{(k-3)(k-4)} = \frac{8 - 2k}{(k-3)(k-4)}$
Вынесем множитель $-2$ в числителе и сократим:
$\frac{-2(k-4)}{(k-3)(k-4)} = \frac{-2}{k-3} = \frac{2}{3-k}$
Ответ: $\frac{2}{3-k}$

6)Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $(m-1)(m+1) = m^2-1$:
$\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1} = \frac{(m+1)^2 - (m-1)^2}{(m-1)(m+1)} = \frac{(m^2+2m+1) - (m^2-2m+1)}{m^2-1} = \frac{4m}{m^2-1}$
Преобразуем делитель: $\frac{4m}{1-m^2} = \frac{4m}{-(m^2-1)}$.
Выполним деление:
$\frac{4m}{m^2-1} : \frac{4m}{-(m^2-1)} = \frac{4m}{m^2-1} \cdot \frac{-(m^2-1)}{4m}$
Сократим все общие множители:
$\frac{\cancel{4m}}{\cancel{m^2-1}} \cdot \frac{-(\cancel{m^2-1})}{\cancel{4m}} = -1$
Ответ: $-1$

7)Разложим знаменатели на множители:
$x^2-1 = (x-1)(x+1)$
$x^2+2x+1 = (x+1)^2$
$1-x^2 = -(x^2-1) = -(x-1)(x+1)$
Упростим выражение в скобках:
$\frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{-(x-1)(x+1)} = \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{(x-1)(x+1)}$
Приведем к общему знаменателю $(x+1)^2(x-1)$:
$\frac{1(x-1)}{(x+1)^2(x-1)} + \frac{1(x+1)}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{x-1+x+1}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{2x}{(x+1)^2(x-1)}$
Выполним деление:
$\frac{2x}{(x-1)(x+1)} : \frac{2x}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{2x}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x+1)^2(x-1)}{2x}$
Сократим общие множители:
$\frac{\cancel{2x}}{(\cancel{x-1})(\cancel{x+1})} \cdot \frac{(x+1)^{\cancel{2}}(\cancel{x-1})}{\cancel{2x}} = x+1$
Ответ: $x+1$

8)Разложим все выражения на множители:
$\frac{2a-6}{a^2-4a+4} = \frac{2(a-3)}{(a-2)^2}$
$\frac{a-4}{a^2-2a} = \frac{a-4}{a(a-2)}$
$\frac{a^2-8}{a^3-4a} = \frac{a^2-8}{a(a^2-4)} = \frac{a^2-8}{a(a-2)(a+2)}$
Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $a(a-2)^2$:
$\frac{2(a-3) \cdot a}{a(a-2)^2} - \frac{(a-4)(a-2)}{a(a-2)^2} = \frac{2a^2-6a - (a^2-6a+8)}{a(a-2)^2} = \frac{a^2-8}{a(a-2)^2}$
Выполним деление:
$\frac{a^2-8}{a(a-2)^2} : \frac{a^2-8}{a(a-2)(a+2)} = \frac{a^2-8}{a(a-2)^2} \cdot \frac{a(a-2)(a+2)}{a^2-8}$
Сократим общие множители:
$\frac{\cancel{a^2-8}}{\cancel{a}(a-2)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{a}(\cancel{a-2})(a+2)}{\cancel{a^2-8}} = \frac{a+2}{a-2}$
Ответ: $\frac{a+2}{a-2}$

9)Выполним умножение. Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители:
$9a^2-4 = (3a-2)(3a+2)$
$2a^2-5a+2 = (2a-1)(a-2)$ (через нахождение корней квадратного трехчлена)
$\frac{(3a-2)(3a+2)}{(a-2)(2a-1)} \cdot \frac{2a-1}{3a-2}$
Сократим общие множители $(3a-2)$ и $(2a-1)$:
$\frac{(\cancel{3a-2})(3a+2)}{(a-2)(\cancel{2a-1})} \cdot \frac{\cancel{2a-1}}{\cancel{3a-2}} = \frac{3a+2}{a-2}$
Выполним сложение, представив $2-a$ как $-(a-2)$:
$\frac{3a+2}{a-2} + \frac{a+6}{2-a} = \frac{3a+2}{a-2} - \frac{a+6}{a-2} = \frac{3a+2 - (a+6)}{a-2} = \frac{2a-4}{a-2}$
Вынесем общий множитель в числителе и сократим:
$\frac{2(a-2)}{a-2} = 2$
Ответ: $2$

10)Разложим выражения на множители:
$\frac{b^3+2b}{b^2-1} = \frac{b(b^2+2)}{(b-1)(b+1)}$
$\frac{b+1}{2b^2-3b+1} = \frac{b+1}{(b-1)(2b-1)}$ (знаменатель разложен через корни)
$\frac{1}{b^2-1} = \frac{1}{(b-1)(b+1)}$
Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $(b-1)(b+1)(2b-1)$:
$\frac{(b+1)(b+1)}{(b-1)(b+1)(2b-1)} - \frac{1(2b-1)}{(b-1)(b+1)(2b-1)} = \frac{b^2+2b+1 - 2b+1}{(b-1)(b+1)(2b-1)} = \frac{b^2+2}{(b-1)(b+1)(2b-1)}$
Выполним деление:
$\frac{b(b^2+2)}{(b-1)(b+1)} : \frac{b^2+2}{(b-1)(b+1)(2b-1)} = \frac{b(b^2+2)}{(b-1)(b+1)} \cdot \frac{(b-1)(b+1)(2b-1)}{b^2+2}$
Сократим общие множители $(b^2+2)$, $(b-1)$ и $(b+1)$:
$\frac{b(\cancel{b^2+2})}{(\cancel{b-1})(\cancel{b+1})} \cdot \frac{(\cancel{b-1})(\cancel{b+1})(2b-1)}{\cancel{b^2+2}} = b(2b-1)$
Ответ: $b(2b-1)$

163. Из данного равенства выразите переменную a через остальные переменные:

1) $\frac{3}{a} = b + \frac{2}{c}$;

2) $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{c}$;

3) $\frac{a+b}{a-b} = c.$

1) Дано равенство $ \frac{3}{a} = b + \frac{2}{c} $. Чтобы выразить переменную $a$, выполним следующие шаги.

Сначала приведем выражение в правой части к общему знаменателю $c$:

$ b + \frac{2}{c} = \frac{bc}{c} + \frac{2}{c} = \frac{bc+2}{c} $

Теперь наше равенство выглядит так:

$ \frac{3}{a} = \frac{bc+2}{c} $

Это пропорция. Чтобы найти $a$, мы можем "перевернуть" обе части равенства:

$ \frac{a}{3} = \frac{c}{bc+2} $

Наконец, умножим обе части на 3, чтобы выделить $a$:

$ a = \frac{3c}{bc+2} $

Ответ: $ a = \frac{3c}{bc+2} $

2) Дано равенство $ \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{c} $. Наша цель — выразить $a$.

Для этого сначала изолируем слагаемое, содержащее $a$. Перенесем $ \frac{1}{a} $ в правую часть уравнения, а $ \frac{1}{c} $ — в левую, поменяв их знаки:

$ \frac{1}{b} - \frac{1}{c} = \frac{1}{a} $

Теперь приведем левую часть к общему знаменателю $bc$:

$ \frac{c}{bc} - \frac{b}{bc} = \frac{1}{a} $

$ \frac{c-b}{bc} = \frac{1}{a} $

Чтобы найти $a$, "перевернем" обе части полученного равенства:

$ a = \frac{bc}{c-b} $

Ответ: $ a = \frac{bc}{c-b} $

3) Дано равенство $ \frac{a+b}{a-b} = c $. Выразим переменную $a$.

Домножим обе части равенства на знаменатель $ (a-b) $, чтобы избавиться от дроби (при условии, что $ a-b \ne 0 $):

$ a+b = c(a-b) $

Раскроем скобки в правой части:

$ a+b = ca - cb $

Теперь необходимо собрать все слагаемые с переменной $a$ в одной части равенства, а остальные слагаемые — в другой. Перенесем $a$ вправо, а $-cb$ влево:

$ b + cb = ca - a $

Вынесем общие множители за скобки в обеих частях:

$ b(1+c) = a(c-1) $

Наконец, чтобы найти $a$, разделим обе части на $ (c-1) $ (при условии, что $ c-1 \ne 0 $):

$ a = \frac{b(1+c)}{c-1} $

Ответ: $ a = \frac{b(c+1)}{c-1} $

164. Решите уравнение:

1) $ \frac{x+2}{x^2-4}=0 $;

2) $ \frac{x^2-4}{x+2}=0 $;

3) $ \frac{x+2}{x+2}=1 $;

4) $ \frac{x^2-9}{x^2-6x+9}=0 $;

5) $ \frac{x^2-6x+9}{x^2-9}=0 $;

6) $ \frac{10-4x}{x+9}+\frac{6x+8}{x+9}=0 $.

1) Решим уравнение $\frac{x+2}{x^2-4} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю:
$x + 2 = 0$
$x = -2$
Теперь найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$x^2 - 4 \neq 0$
$(x-2)(x+2) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Полученный корень $x = -2$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: корней нет.

2) Решим уравнение $\frac{x^2-4}{x+2} = 0$.
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 4 = 0$
$(x-2)(x+2) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x+2 \neq 0$
$x \neq -2$
Сравниваем корни с ОДЗ. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 2$ входит в ОДЗ.
Ответ: $2$.

3) Решим уравнение $\frac{x+2}{x+2} = 1$.
Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x+2 \neq 0$
$x \neq -2$
Для любого значения $x$, удовлетворяющего ОДЗ, выражение в левой части уравнения равно 1. Таким образом, равенство $1=1$ верно для всех допустимых значений $x$.
Следовательно, решением уравнения являются все действительные числа, кроме $x = -2$.
Ответ: $x$ - любое число, кроме $-2$.

4) Решим уравнение $\frac{x^2-9}{x^2-6x+9} = 0$.
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 9 = 0$
$(x-3)(x+3) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Найдем ОДЗ, приравняв знаменатель к нулю и исключив эти значения:
$x^2 - 6x + 9 \neq 0$
Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-3)^2 \neq 0$.
$x-3 \neq 0$
$x \neq 3$
Корень $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-3$.

5) Решим уравнение $\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} = 0$.
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 6x + 9 = 0$
$(x-3)^2 = 0$
$x-3 = 0$
$x = 3$
Найдем ОДЗ:
$x^2 - 9 \neq 0$
$(x-3)(x+3) \neq 0$
$x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Полученный корень $x=3$ не входит в ОДЗ, следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: корней нет.

6) Решим уравнение $\frac{10-4x}{x+9} + \frac{6x+8}{x+9} = 0$.
Так как у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители:
$\frac{(10-4x) + (6x+8)}{x+9} = 0$
$\frac{10-4x+6x+8}{x+9} = 0$
$\frac{2x+18}{x+9} = 0$
Приравняем числитель к нулю:
$2x + 18 = 0$
$2x = -18$
$x = -9$
Найдем ОДЗ:
$x+9 \neq 0$
$x \neq -9$
Полученный корень $x=-9$ не удовлетворяет ОДЗ. Значит, у уравнения нет решений.
Ответ: корней нет.