Страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

187. Решите уравнение:

1) $(x - y)^2 + (x - 9)^2 = 0;$

2) $(x - 3y + 1)^2 + x^2 - 8xy + 16y^2 = 0;$

3) $|x + 3y - 4| + (2x - 6y + 3)^2 = 0;$

4) $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0.$

1) Исходное уравнение: $(x - y)^2 + (x - 9)^2 = 0$.

Это уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, так как квадрат любого действительного числа больше или равен нулю: $(x - y)^2 \ge 0$ и $(x - 9)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 0 \\ x - 9 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим $x$:
$x - 9 = 0 \implies x = 9$.

Подставляем найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$9 - y = 0 \implies y = 9$.

Таким образом, решение уравнения — пара чисел $(9, 9)$.

Ответ: $(9, 9)$.

2) Исходное уравнение: $(x - 3y + 1)^2 + x^2 - 8xy + 16y^2 = 0$.

Заметим, что выражение $x^2 - 8xy + 16y^2$ является полным квадратом разности. Используя формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=4y$, получаем:
$x^2 - 8xy + 16y^2 = (x - 4y)^2$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$(x - 3y + 1)^2 + (x - 4y)^2 = 0$.

Это снова сумма двух квадратов, которая равна нулю. Это возможно только если оба слагаемых равны нулю:

$\begin{cases} x - 3y + 1 = 0 \\ x - 4y = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 4y$.

Подставим это выражение в первое уравнение:
$(4y) - 3y + 1 = 0$
$y + 1 = 0$
$y = -1$.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x=4y$:
$x = 4(-1) = -4$.

Решение уравнения — пара чисел $(-4, -1)$.

Ответ: $(-4, -1)$.

3) Исходное уравнение: $|x + 3y - 4| + (2x - 6y + 3)^2 = 0$.

Это уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых. Модуль любого действительного числа $|a|$ всегда неотрицателен ($|a| \ge 0$), и квадрат любого действительного числа $b^2$ также неотрицателен ($b^2 \ge 0$).

Сумма этих двух слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + 3y - 4 = 0 \\ 2x - 6y + 3 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 4 - 3y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(4 - 3y) - 6y + 3 = 0$
$8 - 6y - 6y + 3 = 0$
$11 - 12y = 0$
$12y = 11$
$y = \frac{11}{12}$.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 4 - 3y = 4 - 3 \cdot \frac{11}{12} = 4 - \frac{11}{4} = \frac{16}{4} - \frac{11}{4} = \frac{5}{4}$.

Решением является пара чисел $(\frac{5}{4}, \frac{11}{12})$.

Ответ: $(\frac{5}{4}, \frac{11}{12})$.

4) Исходное уравнение: $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$ и выделим полные квадраты.

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 13 = 0$.

Для выделения полного квадрата для $x$ используем формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$x^2 - 4x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $2^2 = 4$:
$(x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4$.

Для выделения полного квадрата для $y$ используем формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$y^2 + 6y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $3^2 = 9$:
$(y^2 + 6y + 9) - 9 = (y + 3)^2 - 9$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$((x - 2)^2 - 4) + ((y + 3)^2 - 9) + 13 = 0$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 4 - 9 + 13 = 0$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 + 13 = 0$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$.

Мы получили сумму двух квадратов, равную нулю. Это возможно только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

$\begin{cases} x - 2 = 0 \\ y + 3 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x = 2$.
Из второго уравнения находим $y = -3$.

Решением уравнения является пара чисел $(2, -3)$.

Ответ: $(2, -3)$.

188. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y = 1, \\ xy = -20; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 3y = 1, \\ x^2 + 2xy - y^2 = -1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + xy - 5y = -3, \\ 4x - y = 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x - 3y = -5, \\ 4x^2 + 6y = 13. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -20 \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 1 - x$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$x(1 - x) = -20$
Раскроем скобки:
$x - x^2 = -20$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - x - 20 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$
Найдем корни уравнения для $x$:
$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 9}{2}$
$x_1 = \frac{1 + 9}{2} = 5$
$x_2 = \frac{1 - 9}{2} = -4$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, используя выражение $y = 1 - x$:
Если $x_1 = 5$, то $y_1 = 1 - 5 = -4$.
Если $x_2 = -4$, то $y_2 = 1 - (-4) = 1 + 4 = 5$.
Таким образом, система имеет две пары решений.
Ответ: $(5, -4), (-4, 5)$.

2)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + 3y = 1 \\ x^2 + 2xy - y^2 = -1 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 1 - 3y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(1 - 3y)^2 + 2(1 - 3y)y - y^2 = -1$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(1 - 6y + 9y^2) + (2y - 6y^2) - y^2 = -1$
$1 - 6y + 9y^2 + 2y - 6y^2 - y^2 = -1$
$(9y^2 - 6y^2 - y^2) + (-6y + 2y) + 1 + 1 = 0$
$2y^2 - 4y + 2 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$y^2 - 2y + 1 = 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности:
$(y - 1)^2 = 0$
Отсюда находим единственное значение для $y$:
$y = 1$
Найдем соответствующее значение $x$, подставив $y = 1$ в выражение $x = 1 - 3y$:
$x = 1 - 3(1) = 1 - 3 = -2$
Таким образом, система имеет одно решение.
Ответ: $(-2, 1)$.

3)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + xy - 5y = -3 \\ 4x - y = 3 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 4x - 3$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + x(4x - 3) - 5(4x - 3) = -3$
Раскроем скобки и упростим:
$x^2 + 4x^2 - 3x - 20x + 15 = -3$
$5x^2 - 23x + 15 + 3 = 0$
$5x^2 - 23x + 18 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = (-23)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 18 = 529 - 360 = 169$
Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-(-23) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{23 \pm 13}{10}$
$x_1 = \frac{23 + 13}{10} = \frac{36}{10} = \frac{18}{5}$
$x_2 = \frac{23 - 13}{10} = \frac{10}{10} = 1$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя $y = 4x - 3$:
Если $x_1 = \frac{18}{5}$, то $y_1 = 4\left(\frac{18}{5}\right) - 3 = \frac{72}{5} - \frac{15}{5} = \frac{57}{5}$.
Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 4(1) - 3 = 1$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(1, 1), (\frac{18}{5}, \frac{57}{5})$.

4)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 3y = -5 \\ 4x^2 + 6y = 13 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $3y$:
$3y = 2x + 5$
Заметим, что во втором уравнении есть член $6y$, который равен $2 \cdot (3y)$. Выполним подстановку:
$4x^2 + 2(3y) = 13$
$4x^2 + 2(2x + 5) = 13$
Раскроем скобки:
$4x^2 + 4x + 10 = 13$
Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$4x^2 + 4x + 10 - 13 = 0$
$4x^2 + 4x - 3 = 0$
Решим это уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$
Найдем корни уравнения для $x$:
$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 8}{8}$
$x_1 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$
Найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = \frac{2x+5}{3}$:
Если $x_1 = \frac{1}{2}$, то $y_1 = \frac{2(\frac{1}{2}) + 5}{3} = \frac{1 + 5}{3} = \frac{6}{3} = 2$.
Если $x_2 = -\frac{3}{2}$, то $y_2 = \frac{2(-\frac{3}{2}) + 5}{3} = \frac{-3 + 5}{3} = \frac{2}{3}$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(\frac{1}{2}, 2), (-\frac{3}{2}, \frac{2}{3})$.

189. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

1) прямой $y=2-5x$ и параболы $y=x^2+x-5$;

2) прямой $x-y+5=0$ и окружности $(x+3)^2+(y-1)^2=13$;

3) прямой $y=3x-10$ и окружности $x^2+y^2=10$;

4) парабол $y=4x^2+5x+2$ и $y=-2x^2-3x-2$.

1) прямой $y=2-5x$ и параболы $y=x^2+x-5$;

Чтобы найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений прямой и параболы:

$ \begin{cases} y = 2-5x \\ y = x^2+x-5 \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны, приравняем их правые части:

$2-5x = x^2+x-5$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2+x-5-2+5x = 0$

$x^2+6x-7 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $-7$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-7$.

$x_1 = 1$

$x_2 = -7$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x$, подставив их в уравнение прямой $y=2-5x$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 2-5(1) = 2-5 = -3$

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты $(1, -3)$.

Для $x_2 = -7$:

$y_2 = 2-5(-7) = 2+35 = 37$

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты $(-7, 37)$.

Ответ: $(1, -3)$ и $(-7, 37)$.

2) прямой $x-y+5=0$ и окружности $(x+3)^2+(y-1)^2=13$;

Для нахождения точек пересечения решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x-y+5=0 \\ (x+3)^2+(y-1)^2=13 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x+5$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$(x+3)^2+((x+5)-1)^2=13$

$(x+3)^2+(x+4)^2=13$

Раскроем скобки:

$(x^2+6x+9) + (x^2+8x+16) = 13$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2+14x+25=13$

$2x^2+14x+12=0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$x^2+7x+6=0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а произведение равно $6$. Корни уравнения:

$x_1 = -1$

$x_2 = -6$

Найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = x+5$.

Для $x_1 = -1$:

$y_1 = -1+5 = 4$

Первая точка пересечения: $(-1, 4)$.

Для $x_2 = -6$:

$y_2 = -6+5 = -1$

Вторая точка пересечения: $(-6, -1)$.

Ответ: $(-1, 4)$ и $(-6, -1)$.

3) прямой $y=3x-10$ и окружности $x^2+y^2=10$;

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y=3x-10 \\ x^2+y^2=10 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x^2+(3x-10)^2=10$

Раскроем скобки:

$x^2+(9x^2-60x+100)=10$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$10x^2-60x+100-10=0$

$10x^2-60x+90=0$

Разделим обе части уравнения на 10:

$x^2-6x+9=0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(x-3)^2=0$

Отсюда находим единственный корень:

$x=3$

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 3(3)-10 = 9-10 = -1$

Так как мы получили только одно решение, прямая является касательной к окружности, и у них одна точка пересечения (точка касания).

Ответ: $(3, -1)$.

4) парабол $y=4x^2+5x+2$ и $y=-2x^2-3x-2$.

Чтобы найти точки пересечения двух парабол, приравняем выражения для $y$:

$4x^2+5x+2 = -2x^2-3x-2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$4x^2+5x+2+2x^2+3x+2=0$

$6x^2+8x+4=0$

Разделим уравнение на 2:

$3x^2+4x+2=0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D=b^2-4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики парабол не пересекаются.

Ответ: точек пересечения нет.

190. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 64, \\ x - y = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 9x^2 - 6xy + y^2 = 9, \\ 2x^2 + 2xy - y^2 = 11; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - xy = -6, \\ y^2 - xy = 22; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 18, \\ 3x^2 - 2y^2 = 12; \end{cases}$

5) $\begin{cases} xy - y = -12, \\ 5x - xy = 1; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 + 4y^2 = 8, \\ xy = 2. \end{cases}$

1) Исходная система:
$ \begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 64 \\ x - y = 2 \end{cases} $
Первое уравнение является формулой квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Таким образом, система принимает вид:
$ \begin{cases} (x+y)^2 = 64 \\ x - y = 2 \end{cases} $
Из первого уравнения следует, что $x+y = 8$ или $x+y = -8$. Это приводит к двум независимым системам линейных уравнений.
Случай 1:
$ \begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = 2 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x+y)+(x-y) = 8+2$, что дает $2x = 10$, следовательно $x=5$.
Подставим $x=5$ в любое из уравнений, например, в первое: $5 + y = 8$, откуда $y=3$.
Получаем решение $(5, 3)$.
Случай 2:
$ \begin{cases} x + y = -8 \\ x - y = 2 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x+y)+(x-y) = -8+2$, что дает $2x = -6$, следовательно $x=-3$.
Подставим $x=-3$ в первое уравнение: $-3 + y = -8$, откуда $y=-5$.
Получаем решение $(-3, -5)$.
Ответ: $(5, 3)$, $(-3, -5)$.

2) Исходная система:
$ \begin{cases} 9x^2 - 6xy + y^2 = 9 \\ 2x^2 + 2xy - y^2 = 11 \end{cases} $
Первое уравнение является формулой квадрата разности: $9x^2 - 6xy + y^2 = (3x-y)^2$.
Таким образом, $(3x-y)^2 = 9$, откуда $3x-y = 3$ или $3x-y = -3$.
Случай 1: $3x - y = 3 \implies y = 3x - 3$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2x^2 + 2x(3x-3) - (3x-3)^2 = 11$
$2x^2 + 6x^2 - 6x - (9x^2 - 18x + 9) = 11$
$8x^2 - 6x - 9x^2 + 18x - 9 = 11$
$-x^2 + 12x - 20 = 0 \implies x^2 - 12x + 20 = 0$
По теореме Виета корни уравнения $x_1 = 2$, $x_2 = 10$.
Если $x=2$, то $y = 3(2) - 3 = 3$. Решение: $(2, 3)$.
Если $x=10$, то $y = 3(10) - 3 = 27$. Решение: $(10, 27)$.
Случай 2: $3x - y = -3 \implies y = 3x + 3$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2x^2 + 2x(3x+3) - (3x+3)^2 = 11$
$2x^2 + 6x^2 + 6x - (9x^2 + 18x + 9) = 11$
$8x^2 + 6x - 9x^2 - 18x - 9 = 11$
$-x^2 - 12x - 20 = 0 \implies x^2 + 12x + 20 = 0$
По теореме Виета корни уравнения $x_3 = -2$, $x_4 = -10$.
Если $x=-2$, то $y = 3(-2) + 3 = -3$. Решение: $(-2, -3)$.
Если $x=-10$, то $y = 3(-10) + 3 = -27$. Решение: $(-10, -27)$.
Ответ: $(2, 3)$, $(10, 27)$, $(-2, -3)$, $(-10, -27)$.

3) Исходная система:
$ \begin{cases} x^2 - xy = -6 \\ y^2 - xy = 22 \end{cases} $
Вычтем из второго уравнения первое: $(y^2 - xy) - (x^2 - xy) = 22 - (-6)$, что упрощается до $y^2 - x^2 = 28$.
Сложим два исходных уравнения: $(x^2 - xy) + (y^2 - xy) = -6 + 22$, что упрощается до $x^2 - 2xy + y^2 = 16$.
Последнее уравнение является полным квадратом: $(x-y)^2 = 16$, откуда $x-y = 4$ или $x-y = -4$.
Случай 1: $x-y=4 \implies y-x=-4$.
Используя $y^2 - x^2 = (y-x)(y+x) = 28$, подставим значение $y-x$:
$-4(y+x) = 28 \implies y+x = -7$.
Решаем систему: $ \begin{cases} y - x = -4 \\ y + x = -7 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $2y = -11 \implies y = -5.5$. Вычитая, получим $2x = -3 \implies x = -1.5$. Решение: $(-1.5, -5.5)$.
Случай 2: $x-y=-4 \implies y-x=4$.
Подставляем в $(y-x)(y+x) = 28$:
$4(y+x) = 28 \implies y+x = 7$.
Решаем систему: $ \begin{cases} y - x = 4 \\ y + x = 7 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $2y = 11 \implies y = 5.5$. Вычитая, получим $2x = 3 \implies x = 1.5$. Решение: $(1.5, 5.5)$.
Ответ: $(-1.5, -5.5)$, $(1.5, 5.5)$.

4) Исходная система:
$ \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 18 \\ 3x^2 - 2y^2 = 12 \end{cases} $
Это система линейных уравнений относительно $x^2$ и $y^2$.
Сложим два уравнения: $(3x^2 + 2y^2) + (3x^2 - 2y^2) = 18 + 12 \implies 6x^2 = 30 \implies x^2 = 5$.
Отсюда $x = \pm\sqrt{5}$.
Вычтем из первого уравнения второе: $(3x^2 + 2y^2) - (3x^2 - 2y^2) = 18 - 12 \implies 4y^2 = 6 \implies y^2 = 6/4 = 3/2$.
Отсюда $y = \pm\sqrt{3/2}$.
Комбинируя значения $x$ и $y$, получаем четыре пары решений.
Ответ: $(\sqrt{5}, \sqrt{3/2})$, $(\sqrt{5}, -\sqrt{3/2})$, $(-\sqrt{5}, \sqrt{3/2})$, $(-\sqrt{5}, -\sqrt{3/2})$.

5) Исходная система:
$ \begin{cases} xy - y = -12 \\ 5x - xy = 1 \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(xy - y) + (5x - xy) = -12 + 1$
$5x - y = -11$, откуда выражаем $y$: $y = 5x + 11$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x(5x+11) - (5x+11) = -12$
$5x^2 + 11x - 5x - 11 + 12 = 0$
$5x^2 + 6x + 1 = 0$
Решаем полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 \pm 4}{10}$.
$x_1 = \frac{-2}{10} = -0.2$.
$x_2 = \frac{-10}{10} = -1$.
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = -0.2$, $y_1 = 5(-0.2) + 11 = -1 + 11 = 10$.
При $x_2 = -1$, $y_2 = 5(-1) + 11 = -5 + 11 = 6$.
Ответ: $(-0.2, 10)$, $(-1, 6)$.

6) Исходная система:
$ \begin{cases} x^2 + 4y^2 = 8 \\ xy = 2 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 2/x$ (это возможно, т.к. $xy=2$ означает, что $x \neq 0$).
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + 4(2/x)^2 = 8$
$x^2 + 4(4/x^2) = 8 \implies x^2 + 16/x^2 = 8$
Умножим все уравнение на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:
$x^4 + 16 = 8x^2 \implies x^4 - 8x^2 + 16 = 0$
Сделаем замену $u = x^2$. Уравнение примет вид:
$u^2 - 8u + 16 = 0$
Это формула квадрата разности: $(u-4)^2 = 0$.
Отсюда $u = 4$.
Вернемся к переменной $x$: $x^2 = 4$, что дает два корня $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x = 2$, то $y = 2/2 = 1$.
Если $x = -2$, то $y = 2/(-2) = -1$.
Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$.

191. Решите систему уравнений:

1) $x + y + xy = 4,$

$xy(x + y) = -21;$

2) $\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{15}{4},$

$2x - 3y = 10;$

3) $\frac{3x + y}{x - y} - \frac{3(x - y)}{3x + y} = -2,$

$x^2 + xy - y^2 = -20.$

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y + xy = 4 \\ xy(x + y) = -21 \end{cases} $$ Это симметрическая система. Введем новые переменные, используя замену по теореме Виета: пусть $a = x + y$ и $b = xy$.
Система примет вид: $$ \begin{cases} a + b = 4 \\ ab = -21 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $b$: $b = 4 - a$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $a(4 - a) = -21$
$4a - a^2 = -21$
$a^2 - 4a - 21 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$. По теореме Виета находим корни: $a_1 = 7$ и $a_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $b$:
1. Если $a = 7$, то $b = 4 - 7 = -3$. 2. Если $a = -3$, то $b = 4 - (-3) = 7$.
Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, рассмотрев два случая.
Случай 1: $a = 7$, $b = -3$. $$ \begin{cases} x + y = 7 \\ xy = -3 \end{cases} $$ Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$: $t^2 - 7t - 3 = 0$
Найдем корни, вычислив дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 49 + 12 = 61$
$t = \frac{7 \pm \sqrt{61}}{2}$
Следовательно, решениями являются пары чисел: $(\frac{7 + \sqrt{61}}{2}, \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$ и $(\frac{7 - \sqrt{61}}{2}, \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$.
Случай 2: $a = -3$, $b = 7$. $$ \begin{cases} x + y = -3 \\ xy = 7 \end{cases} $$ Составим квадратное уравнение: $t^2 - (-3)t + 7 = 0$
$t^2 + 3t + 7 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19$
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.
Ответ: $(\frac{7 + \sqrt{61}}{2}, \frac{7 - \sqrt{61}}{2}), (\frac{7 - \sqrt{61}}{2}, \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$.

2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{15}{4} \\ 2x - 3y = 10 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0, y \neq 0$.
Рассмотрим первое уравнение. Введем замену: $t = \frac{x}{y}$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$.
Уравнение примет вид: $t - \frac{1}{t} = \frac{15}{4}$
Умножим обе части на $4t$, чтобы избавиться от знаменателей: $4t^2 - 4 = 15t$
$4t^2 - 15t - 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение: $D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$
$t = \frac{15 \pm 17}{2 \cdot 4} = \frac{15 \pm 17}{8}$
$t_1 = \frac{15 + 17}{8} = \frac{32}{8} = 4$
$t_2 = \frac{15 - 17}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$
Теперь рассмотрим два случая.
Случай 1: $\frac{x}{y} = 4$, откуда $x = 4y$.
Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы: $2(4y) - 3y = 10$
$8y - 3y = 10$
$5y = 10 \implies y = 2$
Тогда $x = 4y = 4 \cdot 2 = 8$.
Получили решение $(8, 2)$.
Случай 2: $\frac{x}{y} = -\frac{1}{4}$, откуда $x = -\frac{1}{4}y$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $2(-\frac{1}{4}y) - 3y = 10$
$-\frac{1}{2}y - 3y = 10$
Умножим на 2: $-y - 6y = 20$
$-7y = 20 \implies y = -\frac{20}{7}$
Тогда $x = -\frac{1}{4}y = -\frac{1}{4} \cdot (-\frac{20}{7}) = \frac{20}{28} = \frac{5}{7}$.
Получили решение $(\frac{5}{7}, -\frac{20}{7})$.
Ответ: $(8, 2), (\frac{5}{7}, -\frac{20}{7})$.

3) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{3x + y}{x - y} - \frac{3(x - y)}{3x + y} = -2 \\ x^2 + xy - y^2 = -20 \end{cases} $$ ОДЗ: $x - y \neq 0$ (т.е. $x \neq y$) и $3x + y \neq 0$.
Рассмотрим первое уравнение. Введем замену: $t = \frac{3x + y}{x - y}$.
Уравнение примет вид: $t - \frac{3}{t} = -2$
Умножим на $t$: $t^2 - 3 = -2t$
$t^2 + 2t - 3 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\frac{3x + y}{x - y} = 1$
$3x + y = x - y$
$2x = -2y \implies x = -y$
Подставим $x = -y$ во второе уравнение системы: $(-y)^2 + (-y)y - y^2 = -20$
$y^2 - y^2 - y^2 = -20$
$-y^2 = -20 \implies y^2 = 20 \implies y = \pm\sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$.
Если $y = 2\sqrt{5}$, то $x = -2\sqrt{5}$. Решение $(-2\sqrt{5}, 2\sqrt{5})$.
Если $y = -2\sqrt{5}$, то $x = 2\sqrt{5}$. Решение $(2\sqrt{5}, -2\sqrt{5})$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Случай 2: $\frac{3x + y}{x - y} = -3$
$3x + y = -3(x - y)$
$3x + y = -3x + 3y$
$6x = 2y \implies y = 3x$
Подставим $y = 3x$ во второе уравнение системы: $x^2 + x(3x) - (3x)^2 = -20$
$x^2 + 3x^2 - 9x^2 = -20$
$-5x^2 = -20 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Если $x = 2$, то $y = 3(2) = 6$. Решение $(2, 6)$.
Если $x = -2$, то $y = 3(-2) = -6$. Решение $(-2, -6)$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(2, 6), (-2, -6), (2\sqrt{5}, -2\sqrt{5}), (-2\sqrt{5}, 2\sqrt{5})$.

192. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} y - x = 0, \\ 2x + y = -6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = -1, \\ 2x + 2y = -3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - y = 6, \\ x + y = 6; \end{cases}$

4) $\begin{cases} (x + 2)^2 + y^2 = 10, \\ x - y + 4 = 0; \end{cases}$

5) $\begin{cases} xy = 8, \\ x + y = -6; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = 6. \end{cases}$

1)

Данная система состоит из двух линейных уравнений. Первое уравнение, $y - x = 0$, можно переписать в виде $y = x$. Графиком этого уравнения является прямая, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов и проходит через точки (0, 0) и (1, 1).

Второе уравнение, $2x + y = -6$, можно переписать как $y = -2x - 6$. Графиком также является прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x = 0$, то $y = -6$ (точка (0, -6)); если $y = 0$, то $2x = -6$, откуда $x = -3$ (точка (-3, 0)).

Построим графики обоих уравнений в одной системе координат. Точка пересечения этих двух прямых и будет решением системы. Из графика видно, что прямые пересекаются в точке с координатами (-2, -2).

Ответ: (-2, -2).

2)

Система состоит из двух линейных уравнений. Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$. Первое уравнение, $x + y = -1$, преобразуется в $y = -x - 1$. Второе уравнение, $2x + 2y = -3$, можно разделить на 2, получив $x + y = -1.5$, что преобразуется в $y = -x - 1.5$.

Графиками обоих уравнений являются прямые. У обеих прямых одинаковый угловой коэффициент $k = -1$, что означает, что они параллельны. Однако, свободные члены (y-пересечения) у них разные ($-1$ и $-1.5$).

Поскольку прямые параллельны и не совпадают, они не имеют точек пересечения. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

3)

Первое уравнение системы, $x^2 - y = 6$, можно переписать как $y = x^2 - 6$. Графиком этого уравнения является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке (0, -6).

Второе уравнение, $x + y = 6$, можно переписать как $y = -x + 6$. Графиком этого уравнения является прямая, проходящая через точки (0, 6) и (6, 0).

Решениями системы являются координаты точек пересечения параболы и прямой. Построив графики, мы находим две точки пересечения: (-4, 10) и (3, 3).

Ответ: (-4, 10), (3, 3).

4)

Первое уравнение, $(x + 2)^2 + y^2 = 10$, является уравнением окружности с центром в точке (-2, 0) и радиусом $r = \sqrt{10} \approx 3.16$.

Второе уравнение, $x - y + 4 = 0$, можно переписать как $y = x + 4$. Графиком этого уравнения является прямая, проходящая через точки (0, 4) и (-4, 0).

Решениями системы являются координаты точек пересечения окружности и прямой. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек: (-5, -1) и (-1, 3).

Ответ: (-5, -1), (-1, 3).

5)

Первое уравнение, $xy = 8$, можно представить в виде $y = 8/x$. Графиком этого уравнения является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Асимптотами являются оси координат.

Второе уравнение, $x + y = -6$, можно переписать как $y = -x - 6$. Графиком является прямая, проходящая через точки (0, -6) и (-6, 0).

Решениями системы являются координаты точек пересечения гиперболы и прямой. На графике видно, что пересечение происходит в двух точках в третьем квадранте. Координаты этих точек: (-4, -2) и (-2, -4).

Ответ: (-4, -2), (-2, -4).

6)

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 13$, является уравнением окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{13} \approx 3.6$.

Второе уравнение, $xy = 6$, можно представить в виде $y = 6/x$. Графиком этого уравнения является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах.

Решениями системы являются координаты точек пересечения окружности и гиперболы. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в четырех точках (по две в первом и третьем квадрантах). Координаты этих точек: (2, 3), (3, 2), (-2, -3) и (-3, -2).

Ответ: (2, 3), (3, 2), (-2, -3), (-3, -2).