Номер 188, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 188, страница 228.

188. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y = 1, \\ xy = -20; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 3y = 1, \\ x^2 + 2xy - y^2 = -1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + xy - 5y = -3, \\ 4x - y = 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x - 3y = -5, \\ 4x^2 + 6y = 13. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -20 \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 1 - x$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$x(1 - x) = -20$
Раскроем скобки:
$x - x^2 = -20$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - x - 20 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$
Найдем корни уравнения для $x$:
$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 9}{2}$
$x_1 = \frac{1 + 9}{2} = 5$
$x_2 = \frac{1 - 9}{2} = -4$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, используя выражение $y = 1 - x$:
Если $x_1 = 5$, то $y_1 = 1 - 5 = -4$.
Если $x_2 = -4$, то $y_2 = 1 - (-4) = 1 + 4 = 5$.
Таким образом, система имеет две пары решений.
Ответ: $(5, -4), (-4, 5)$.

2)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + 3y = 1 \\ x^2 + 2xy - y^2 = -1 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 1 - 3y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(1 - 3y)^2 + 2(1 - 3y)y - y^2 = -1$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(1 - 6y + 9y^2) + (2y - 6y^2) - y^2 = -1$
$1 - 6y + 9y^2 + 2y - 6y^2 - y^2 = -1$
$(9y^2 - 6y^2 - y^2) + (-6y + 2y) + 1 + 1 = 0$
$2y^2 - 4y + 2 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$y^2 - 2y + 1 = 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности:
$(y - 1)^2 = 0$
Отсюда находим единственное значение для $y$:
$y = 1$
Найдем соответствующее значение $x$, подставив $y = 1$ в выражение $x = 1 - 3y$:
$x = 1 - 3(1) = 1 - 3 = -2$
Таким образом, система имеет одно решение.
Ответ: $(-2, 1)$.

3)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + xy - 5y = -3 \\ 4x - y = 3 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 4x - 3$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + x(4x - 3) - 5(4x - 3) = -3$
Раскроем скобки и упростим:
$x^2 + 4x^2 - 3x - 20x + 15 = -3$
$5x^2 - 23x + 15 + 3 = 0$
$5x^2 - 23x + 18 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = (-23)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 18 = 529 - 360 = 169$
Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-(-23) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{23 \pm 13}{10}$
$x_1 = \frac{23 + 13}{10} = \frac{36}{10} = \frac{18}{5}$
$x_2 = \frac{23 - 13}{10} = \frac{10}{10} = 1$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя $y = 4x - 3$:
Если $x_1 = \frac{18}{5}$, то $y_1 = 4\left(\frac{18}{5}\right) - 3 = \frac{72}{5} - \frac{15}{5} = \frac{57}{5}$.
Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 4(1) - 3 = 1$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(1, 1), (\frac{18}{5}, \frac{57}{5})$.

4)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 3y = -5 \\ 4x^2 + 6y = 13 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $3y$:
$3y = 2x + 5$
Заметим, что во втором уравнении есть член $6y$, который равен $2 \cdot (3y)$. Выполним подстановку:
$4x^2 + 2(3y) = 13$
$4x^2 + 2(2x + 5) = 13$
Раскроем скобки:
$4x^2 + 4x + 10 = 13$
Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$4x^2 + 4x + 10 - 13 = 0$
$4x^2 + 4x - 3 = 0$
Решим это уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$
Найдем корни уравнения для $x$:
$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 8}{8}$
$x_1 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$
Найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = \frac{2x+5}{3}$:
Если $x_1 = \frac{1}{2}$, то $y_1 = \frac{2(\frac{1}{2}) + 5}{3} = \frac{1 + 5}{3} = \frac{6}{3} = 2$.
Если $x_2 = -\frac{3}{2}$, то $y_2 = \frac{2(-\frac{3}{2}) + 5}{3} = \frac{-3 + 5}{3} = \frac{2}{3}$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(\frac{1}{2}, 2), (-\frac{3}{2}, \frac{2}{3})$.