Номер 194, страница 229 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 194, страница 229.

194. При каких значениях $a$ система уравнений$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 16, \\x - y = a.\end{cases}$$

1) имеет единственное решение;

2) имеет два решения;

3) не имеет решений?

Для решения данной задачи рассмотрим систему уравнений:$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 16 \\x - y = a\end{cases}$$

Эта система описывает пересечение графиков двух уравнений на координатной плоскости. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 16$, задает окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=\sqrt{16}=4$. Второе уравнение, $x - y = a$, которое можно переписать как $y = x - a$, задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=1$. Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и прямой.

Чтобы найти количество решений, воспользуемся алгебраическим методом. Выразим одну переменную из второго уравнения и подставим в первое.

Из уравнения $x - y = a$ следует, что $x = y + a$.

Подставим это выражение в уравнение окружности:

$(y+a)^2 + y^2 = 16$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно переменной $y$:

$y^2 + 2ay + a^2 + y^2 = 16$

$2y^2 + 2ay + (a^2 - 16) = 0$

Количество решений этого квадратного уравнения (и, следовательно, исходной системы) зависит от знака его дискриминанта $D$. Найдем дискриминант:

$D = (2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 16) = 4a^2 - 8(a^2 - 16) = 4a^2 - 8a^2 + 128 = 128 - 4a^2$.

Теперь проанализируем количество решений для каждого случая.

1) имеет единственное решение;

Система имеет единственное решение, когда квадратное уравнение имеет ровно один корень. Это происходит при условии, что дискриминант равен нулю ($D=0$).

$128 - 4a^2 = 0$

$4a^2 = 128$

$a^2 = 32$

$a = \pm\sqrt{32} = \pm\sqrt{16 \cdot 2} = \pm 4\sqrt{2}$.

Геометрически это означает, что прямая касается окружности.

Ответ: при $a = -4\sqrt{2}$ и $a = 4\sqrt{2}$.

2) имеет два решения;

Система имеет два различных решения, когда квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это происходит при условии, что дискриминант больше нуля ($D > 0$).

$128 - 4a^2 > 0$

$128 > 4a^2$

$32 > a^2$

$a^2 < 32$

Решением этого неравенства является интервал $-\sqrt{32} < a < \sqrt{32}$, то есть $-4\sqrt{2} < a < 4\sqrt{2}$.

Геометрически это означает, что прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: при $a \in (-4\sqrt{2}; 4\sqrt{2})$.

3) не имеет решений?

Система не имеет решений, когда квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это происходит при условии, что дискриминант меньше нуля ($D < 0$).

$128 - 4a^2 < 0$

$128 < 4a^2$

$32 < a^2$

$a^2 > 32$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $a < -\sqrt{32}$ или $a > \sqrt{32}$, то есть $a < -4\sqrt{2}$ или $a > 4\sqrt{2}$.

Геометрически это означает, что у прямой и окружности нет общих точек.

Ответ: при $a \in (-\infty; -4\sqrt{2}) \cup (4\sqrt{2}; \infty)$.