Номер 197, страница 229 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов - номер 197, страница 229.

Учебник.

197. Докажите, что:

1) $a(a - 8) > 2(a - 13)$ при всех действительных значениях $a$;

2) $x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 \ge 0$ при всех действительных значениях $x$ и $y$;

3) $x^2 + 10xy + 26y^2 - 12y + 40 > 0$ при всех действительных значениях $x$ и $y$;

4) $ab(a + b) \le a^3 + b^3$, если $a < 0$, $b < 0$;

5) $m^3 + 2m^2 - 4m - 8 > 0$, если $m > 2$;

6) $\frac{a^2 + 5}{\sqrt{a^2 + 4}} > 2$ при всех действительных значениях $a$.

Решение 2.

1) Требуется доказать, что $a(a - 8) > 2(a - 13)$ при всех действительных значениях $a$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$a^2 - 8a > 2a - 26$.
Перенесем все члены в левую часть:
$a^2 - 8a - 2a + 26 > 0$
$a^2 - 10a + 26 > 0$.
Теперь преобразуем левую часть, выделив полный квадрат:
$a^2 - 10a + 26 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 26 = (a - 5)^2 - 25 + 26 = (a - 5)^2 + 1$.
Получили неравенство $(a - 5)^2 + 1 > 0$.
Выражение $(a - 5)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(a - 5)^2 \ge 0$.
Следовательно, $(a - 5)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Поскольку $1 > 0$, то и выражение $(a - 5)^2 + 1$ всегда больше нуля.
Таким образом, исходное неравенство верно при всех действительных значениях $a$.
Ответ: Доказано.

2) Требуется доказать, что $x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 \ge 0$ при всех действительных значениях $x$ и $y$.
Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$, и выделим полные квадраты:
$(x^2 + 6x) + (4y^2 + 4y) + 10$.
Для группы с $x$: $x^2 + 6x = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 = (x + 3)^2 - 9$.
Для группы с $y$: $4y^2 + 4y = (2y)^2 + 2 \cdot (2y) \cdot 1$. Для полного квадрата не хватает $1^2$. Добавим и вычтем 1:
$4y^2 + 4y = (4y^2 + 4y + 1) - 1 = (2y + 1)^2 - 1$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$((x + 3)^2 - 9) + ((2y + 1)^2 - 1) + 10 \ge 0$.
Упростим выражение:
$(x + 3)^2 + (2y + 1)^2 - 9 - 1 + 10 \ge 0$
$(x + 3)^2 + (2y + 1)^2 \ge 0$.
Выражение $(x + 3)^2$ является квадратом действительного числа и всегда неотрицательно: $(x + 3)^2 \ge 0$.
Аналогично, $(2y + 1)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна.
Следовательно, неравенство $(x + 3)^2 + (2y + 1)^2 \ge 0$ верно для любых действительных $x$ и $y$.
Ответ: Доказано.

3) Требуется доказать, что $x^2 + 10xy + 26y^2 - 12y + 40 > 0$ при всех действительных значениях $x$ и $y$.
Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить полный квадрат относительно переменной $x$:
$(x^2 + 10xy) + 26y^2 - 12y + 40$.
Представим $10xy$ как $2 \cdot x \cdot (5y)$. Тогда для полного квадрата $(x + 5y)^2$ не хватает слагаемого $(5y)^2 = 25y^2$.
Представим $26y^2$ как $25y^2 + y^2$:
$(x^2 + 10xy + 25y^2) + y^2 - 12y + 40$.
Теперь первая группа слагаемых является полным квадратом:
$(x + 5y)^2 + y^2 - 12y + 40$.
Выделим полный квадрат для оставшихся слагаемых с $y$:
$y^2 - 12y + 40 = (y^2 - 2 \cdot y \cdot 6 + 6^2) - 6^2 + 40 = (y - 6)^2 - 36 + 40 = (y - 6)^2 + 4$.
Подставим это обратно в выражение:
$(x + 5y)^2 + (y - 6)^2 + 4$.
Нам нужно доказать, что $(x + 5y)^2 + (y - 6)^2 + 4 > 0$.
Выражение $(x + 5y)^2$ является квадратом и, следовательно, $(x + 5y)^2 \ge 0$.
Выражение $(y - 6)^2$ также является квадратом и $(y - 6)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел неотрицательна: $(x + 5y)^2 + (y - 6)^2 \ge 0$.
Прибавив 4, получим: $(x + 5y)^2 + (y - 6)^2 + 4 \ge 4$.
Поскольку $4 > 0$, то и все выражение строго больше нуля.
Ответ: Доказано.

4) Требуется доказать, что $ab(a + b) \le a^3 + b^3$, если $a < 0, b < 0$.
Перенесем все члены в одну сторону: $a^3 + b^3 - ab(a + b) \ge 0$.
Разложим левую часть на множители. Используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ и вынося общий множитель $(a+b)$, получим:
$(a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b) = (a + b)(a^2 - ab + b^2 - ab) = (a + b)(a^2 - 2ab + b^2)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(a - b)^2$.
Неравенство принимает вид: $(a + b)(a - b)^2 \ge 0$.
Проанализируем знаки множителей при условиях $a < 0$ и $b < 0$:
1. Множитель $(a - b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен: $(a - b)^2 \ge 0$.
2. Множитель $(a + b)$ является суммой двух отрицательных чисел, поэтому он всегда отрицателен: $a + b < 0$.
Произведение отрицательного числа $(a+b)$ и неотрицательного числа $(a-b)^2$ будет неположительным, то есть $(a + b)(a - b)^2 \le 0$.
Это означает, что $a^3 + b^3 - ab(a + b) \le 0$, что эквивалентно $a^3 + b^3 \le ab(a + b)$.
Данный результат противоречит исходному неравенству. Например, при $a = -1, b = -2$:
$ab(a+b) = (-1)(-2)(-1-2) = -6$.
$a^3+b^3 = (-1)^3+(-2)^3 = -9$.
Неравенство $-6 \le -9$ является ложным.
Следовательно, утверждение в задаче содержит ошибку.
Ответ: Утверждение в задаче неверно. Доказано, что при $a < 0, b < 0$ выполняется обратное неравенство: $ab(a + b) \ge a^3 + b^3$.

5) Требуется доказать, что $m^3 + 2m^2 - 4m - 8 > 0$, если $m > 2$.
Разложим многочлен в левой части на множители методом группировки:
$(m^3 + 2m^2) - (4m + 8) = m^2(m + 2) - 4(m + 2) = (m^2 - 4)(m + 2)$.
Применим формулу разности квадратов к первому множителю $m^2 - 4 = (m - 2)(m + 2)$:
$(m - 2)(m + 2)(m + 2) = (m - 2)(m + 2)^2$.
Итак, нам нужно доказать, что $(m - 2)(m + 2)^2 > 0$ при $m > 2$.
Проанализируем знаки множителей:
1. Если $m > 2$, то множитель $m - 2$ строго положителен: $m - 2 > 0$.
2. Если $m > 2$, то $m + 2 > 4$, значит, $m+2$ положителен, и его квадрат $(m + 2)^2$ также строго положителен.
Произведение двух положительных чисел ($(m-2)$ и $(m+2)^2$) всегда положительно.
Следовательно, $(m - 2)(m + 2)^2 > 0$ при $m > 2$.
Ответ: Доказано.

6) Требуется доказать, что $\frac{a^2 + 5}{\sqrt{a^2 + 4}} > 2$ при всех действительных значениях $a$.
Знаменатель $\sqrt{a^2 + 4}$ всегда положителен (так как $a^2 \ge 0 \implies a^2 + 4 \ge 4$). Поэтому можно умножить обе части неравенства на $\sqrt{a^2 + 4}$, не меняя знака неравенства:
$a^2 + 5 > 2\sqrt{a^2 + 4}$.
Обе части этого неравенства положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:
$(a^2 + 5)^2 > (2\sqrt{a^2 + 4})^2$
$a^4 + 10a^2 + 25 > 4(a^2 + 4)$
$a^4 + 10a^2 + 25 > 4a^2 + 16$.
Перенесем все члены в левую часть:
$a^4 + 10a^2 - 4a^2 + 25 - 16 > 0$
$a^4 + 6a^2 + 9 > 0$.
Левая часть является полным квадратом выражения $(a^2 + 3)$:
$(a^2 + 3)^2 > 0$.
Для любого действительного числа $a$, $a^2 \ge 0$. Следовательно, $a^2 + 3 \ge 3$, то есть выражение $a^2+3$ всегда строго положительно.
Квадрат строго положительного числа также строго положителен, поэтому $(a^2 + 3)^2 > 0$ всегда верно.
Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство доказано.
Ответ: Доказано.