Номер 191, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 191, страница 228.

191. Решите систему уравнений:

1) $x + y + xy = 4,$

$xy(x + y) = -21;$

2) $\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{15}{4},$

$2x - 3y = 10;$

3) $\frac{3x + y}{x - y} - \frac{3(x - y)}{3x + y} = -2,$

$x^2 + xy - y^2 = -20.$

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y + xy = 4 \\ xy(x + y) = -21 \end{cases} $$ Это симметрическая система. Введем новые переменные, используя замену по теореме Виета: пусть $a = x + y$ и $b = xy$.
Система примет вид: $$ \begin{cases} a + b = 4 \\ ab = -21 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $b$: $b = 4 - a$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $a(4 - a) = -21$
$4a - a^2 = -21$
$a^2 - 4a - 21 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$. По теореме Виета находим корни: $a_1 = 7$ и $a_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $b$:
1. Если $a = 7$, то $b = 4 - 7 = -3$. 2. Если $a = -3$, то $b = 4 - (-3) = 7$.
Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, рассмотрев два случая.
Случай 1: $a = 7$, $b = -3$. $$ \begin{cases} x + y = 7 \\ xy = -3 \end{cases} $$ Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$: $t^2 - 7t - 3 = 0$
Найдем корни, вычислив дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 49 + 12 = 61$
$t = \frac{7 \pm \sqrt{61}}{2}$
Следовательно, решениями являются пары чисел: $(\frac{7 + \sqrt{61}}{2}, \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$ и $(\frac{7 - \sqrt{61}}{2}, \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$.
Случай 2: $a = -3$, $b = 7$. $$ \begin{cases} x + y = -3 \\ xy = 7 \end{cases} $$ Составим квадратное уравнение: $t^2 - (-3)t + 7 = 0$
$t^2 + 3t + 7 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19$
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.
Ответ: $(\frac{7 + \sqrt{61}}{2}, \frac{7 - \sqrt{61}}{2}), (\frac{7 - \sqrt{61}}{2}, \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$.

2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{15}{4} \\ 2x - 3y = 10 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0, y \neq 0$.
Рассмотрим первое уравнение. Введем замену: $t = \frac{x}{y}$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$.
Уравнение примет вид: $t - \frac{1}{t} = \frac{15}{4}$
Умножим обе части на $4t$, чтобы избавиться от знаменателей: $4t^2 - 4 = 15t$
$4t^2 - 15t - 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение: $D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$
$t = \frac{15 \pm 17}{2 \cdot 4} = \frac{15 \pm 17}{8}$
$t_1 = \frac{15 + 17}{8} = \frac{32}{8} = 4$
$t_2 = \frac{15 - 17}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$
Теперь рассмотрим два случая.
Случай 1: $\frac{x}{y} = 4$, откуда $x = 4y$.
Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы: $2(4y) - 3y = 10$
$8y - 3y = 10$
$5y = 10 \implies y = 2$
Тогда $x = 4y = 4 \cdot 2 = 8$.
Получили решение $(8, 2)$.
Случай 2: $\frac{x}{y} = -\frac{1}{4}$, откуда $x = -\frac{1}{4}y$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $2(-\frac{1}{4}y) - 3y = 10$
$-\frac{1}{2}y - 3y = 10$
Умножим на 2: $-y - 6y = 20$
$-7y = 20 \implies y = -\frac{20}{7}$
Тогда $x = -\frac{1}{4}y = -\frac{1}{4} \cdot (-\frac{20}{7}) = \frac{20}{28} = \frac{5}{7}$.
Получили решение $(\frac{5}{7}, -\frac{20}{7})$.
Ответ: $(8, 2), (\frac{5}{7}, -\frac{20}{7})$.

3) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{3x + y}{x - y} - \frac{3(x - y)}{3x + y} = -2 \\ x^2 + xy - y^2 = -20 \end{cases} $$ ОДЗ: $x - y \neq 0$ (т.е. $x \neq y$) и $3x + y \neq 0$.
Рассмотрим первое уравнение. Введем замену: $t = \frac{3x + y}{x - y}$.
Уравнение примет вид: $t - \frac{3}{t} = -2$
Умножим на $t$: $t^2 - 3 = -2t$
$t^2 + 2t - 3 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\frac{3x + y}{x - y} = 1$
$3x + y = x - y$
$2x = -2y \implies x = -y$
Подставим $x = -y$ во второе уравнение системы: $(-y)^2 + (-y)y - y^2 = -20$
$y^2 - y^2 - y^2 = -20$
$-y^2 = -20 \implies y^2 = 20 \implies y = \pm\sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$.
Если $y = 2\sqrt{5}$, то $x = -2\sqrt{5}$. Решение $(-2\sqrt{5}, 2\sqrt{5})$.
Если $y = -2\sqrt{5}$, то $x = 2\sqrt{5}$. Решение $(2\sqrt{5}, -2\sqrt{5})$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Случай 2: $\frac{3x + y}{x - y} = -3$
$3x + y = -3(x - y)$
$3x + y = -3x + 3y$
$6x = 2y \implies y = 3x$
Подставим $y = 3x$ во второе уравнение системы: $x^2 + x(3x) - (3x)^2 = -20$
$x^2 + 3x^2 - 9x^2 = -20$
$-5x^2 = -20 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Если $x = 2$, то $y = 3(2) = 6$. Решение $(2, 6)$.
Если $x = -2$, то $y = 3(-2) = -6$. Решение $(-2, -6)$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(2, 6), (-2, -6), (2\sqrt{5}, -2\sqrt{5}), (-2\sqrt{5}, 2\sqrt{5})$.