Номер 184, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 184, страница 227.

184. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 2x + y = 1 \\ 7x - 3y = 23; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x - 5y = 6 \\ 6x + 5y = -3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 6x + 7y = 38 \\ 3x - 4y = 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 7 \\ \frac{x}{4} + \frac{2y}{3} = -4; \end{cases}$

5) $\begin{cases} \frac{p+3}{2} - \frac{q+2}{3} = 2 \\ \frac{p-1}{8} + \frac{q-1}{6} = 2; \end{cases}$

6) $\begin{cases} \frac{7x+1}{4} - \frac{2x-3}{3} = \frac{3x-y}{2}, \\ \frac{x-3y}{3} + \frac{x+y}{2} = x - y. \end{cases}$

1) $ \begin{cases} 2x + y = 1, \\ 7x - 3y = 23; \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 1 - 2x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$7x - 3(1 - 2x) = 23$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$7x - 3 + 6x = 23$

$13x = 23 + 3$

$13x = 26$

$x = 2$

Подставим найденное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3$

Ответ: $(2; -3)$.

2) $ \begin{cases} 3x - 5y = 6, \\ 6x + 5y = -3; \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при $y$ являются противоположными числами ($-5$ и $5$). Сложим левые и правые части уравнений:

$(3x - 5y) + (6x + 5y) = 6 + (-3)$

$9x = 3$

$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$3(\frac{1}{3}) - 5y = 6$

$1 - 5y = 6$

$-5y = 5$

$y = -1$

Ответ: $(\frac{1}{3}; -1)$.

3) $ \begin{cases} 6x + 7y = 38, \\ 3x - 4y = 4; \end{cases} $

Используем метод сложения. Умножим второе уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$-2(3x - 4y) = -2(4) \implies -6x + 8y = -8$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 6x + 7y = 38, \\ -6x + 8y = -8; \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(6x + 7y) + (-6x + 8y) = 38 - 8$

$15y = 30$

$y = 2$

Подставим значение $y$ во второе исходное уравнение:

$3x - 4(2) = 4$

$3x - 8 = 4$

$3x = 12$

$x = 4$

Ответ: $(4; 2)$.

4) $ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 7, \\ \frac{x}{4} + \frac{2y}{3} = -4; \end{cases} $

Сначала избавимся от дробей, умножив каждое уравнение на наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.

Для первого уравнения НОК(2, 3) = 6:

$6(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) = 6 \cdot 7 \implies 3x - 2y = 42$

Для второго уравнения НОК(4, 3) = 12:

$12(\frac{x}{4} + \frac{2y}{3}) = 12 \cdot (-4) \implies 3x + 8y = -48$

Получаем эквивалентную систему:

$ \begin{cases} 3x - 2y = 42, \\ 3x + 8y = -48; \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго:

$(3x + 8y) - (3x - 2y) = -48 - 42$

$10y = -90$

$y = -9$

Подставим $y = -9$ в первое упрощенное уравнение:

$3x - 2(-9) = 42$

$3x + 18 = 42$

$3x = 24$

$x = 8$

Ответ: $(8; -9)$.

5) $ \begin{cases} \frac{p+3}{2} - \frac{q+2}{3} = 2, \\ \frac{p-1}{8} + \frac{q-1}{6} = 2; \end{cases} $

Упростим уравнения, избавившись от знаменателей.

Для первого уравнения НОК(2, 3) = 6:

$3(p+3) - 2(q+2) = 12 \implies 3p + 9 - 2q - 4 = 12 \implies 3p - 2q = 7$

Для второго уравнения НОК(8, 6) = 24:

$3(p-1) + 4(q-1) = 48 \implies 3p - 3 + 4q - 4 = 48 \implies 3p + 4q = 55$

Получаем систему:

$ \begin{cases} 3p - 2q = 7, \\ 3p + 4q = 55; \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго:

$(3p + 4q) - (3p - 2q) = 55 - 7$

$6q = 48$

$q = 8$

Подставим $q = 8$ в первое упрощенное уравнение:

$3p - 2(8) = 7$

$3p - 16 = 7$

$3p = 23$

$p = \frac{23}{3}$

Ответ: $(\frac{23}{3}; 8)$.

6) $ \begin{cases} \frac{7x+1}{4} - \frac{2x-3}{3} = \frac{3x-y}{2}, \\ \frac{x-3y}{3} + \frac{x+y}{2} = x-y; \end{cases} $

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение (умножим на НОК(4,3,2)=12):

$3(7x+1) - 4(2x-3) = 6(3x-y)$

$21x + 3 - 8x + 12 = 18x - 6y$

$13x + 15 = 18x - 6y$

$5x - 6y = 15$

Второе уравнение (умножим на НОК(3,2)=6):

$2(x-3y) + 3(x+y) = 6(x-y)$

$2x - 6y + 3x + 3y = 6x - 6y$

$5x - 3y = 6x - 6y$

$3y = x$

Получаем систему:

$ \begin{cases} 5x - 6y = 15, \\ x = 3y; \end{cases} $

Подставим $x = 3y$ в первое уравнение:

$5(3y) - 6y = 15$

$15y - 6y = 15$

$9y = 15$

$y = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$

Найдем $x$:

$x = 3y = 3 \cdot \frac{5}{3} = 5$

Ответ: $(5; \frac{5}{3})$.