Номер 177, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 177, страница 227.

177. Известно, что $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $5x^2 + 2x - 11 = 0$. Не решая это уравнение, найдите значение выражения $3x_1x_2 - x_1 - x_2$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета, которая связывает коэффициенты многочлена с его корнями. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ теорема Виета утверждает следующее:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1x_2 = \frac{c}{a}$

В заданном уравнении $5x^2 + 2x - 11 = 0$ имеем следующие коэффициенты:

• $a = 5$
• $b = 2$
• $c = -11$

Теперь, не решая уравнение, найдем сумму и произведение его корней $x_1$ и $x_2$:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{2}{5}$

Произведение корней: $x_1x_2 = \frac{-11}{5} = -\frac{11}{5}$

Далее, нам нужно найти значение выражения $3x_1x_2 - x_1 - x_2$. Преобразуем это выражение, чтобы использовать найденные значения суммы и произведения корней. Вынесем минус за скобки у последних двух слагаемых:

$3x_1x_2 - x_1 - x_2 = 3(x_1x_2) - (x_1 + x_2)$

Теперь подставим в преобразованное выражение найденные значения для $x_1x_2$ и $x_1 + x_2$:

$3 \cdot (-\frac{11}{5}) - (-\frac{2}{5}) = -\frac{33}{5} + \frac{2}{5} = \frac{-33 + 2}{5} = -\frac{31}{5}$

Переведем полученную неправильную дробь в десятичную:

$-\frac{31}{5} = -6,2$

Ответ: $-6,2$